1、高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos21x+sin 2x.(1)求f(0)的值;(2)从1=1,2=2;1=1,2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-2,6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.2.(2020山东滨州二模,17)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,求ABC的周长L和面积S.在cos A=35,cos C=55,csin C=sin A+bsin B,B=60,c=2,cos A=-14这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.3.(2020山
2、东潍坊二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=3.(1)若B=4,求b;(2)求ABC面积的最大值.4.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.5.(2019全国1,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.6.(2020山东潍坊一模,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为
3、a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且mn.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sin A.7.(2020山东模考卷,18)在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过点D作DFBC,且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.参考答案高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.(2)方案一:选条件.f(x)的一个周期为.f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=222s
4、in2x+22cos2x+1=2sin2x+4+1.因为x-2,6,所以2x+4-34,712.所以-1sin2x+41.所以1-2f(x)1+2.当2x+4=-2,即x=-38时,f(x)在-2,6上取得最小值1-2.方案二:选条件.f(x)的一个周期为2.f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2sinx-142+178.因为x-2,6,所以sinx-1,12.所以-1f(x)178.当sinx=-1,即x=-2时,f(x)在-2,6上取得最小值-1.2.解方案一:选条件.因为cosA=35,cosC=55,且0A,0B,所以sinA=45,sinC=255.在
5、ABC中,A+B+C=,即B=-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4555+35255=10525=255.由正弦定理得,b=asinBsinA=425545=25.因为sinB=sinC,所以c=b=25.所以ABC的周长L=a+b+c=4+25+25=4+45,ABC的面积S=12absinC=12425255=8.方案二:选条件.csinC=sinA+bsinB,由正弦定理得,c2=a+b2.因为a=4,所以b2=c2-4.又因为B=60,由余弦定理得b2=c2+16-24c12,所以c2-4c+16=c2-4,解得c=5.所以b=21.所以
6、ABC的周长L=a+b+c=4+21+5=9+21,ABC的面积S=12acsinB=53.方案三:选条件.c=2,cosA=-14,由余弦定理得,16=b2+4+2b214,即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9.因为A(0,),所以sinA=1-cos2A=154.所以ABC的面积S=12bcsinA=1232154=3154.3.解(1)由正弦定理得b=asinBsinA=23sin4sin3=22.(2)因为ABC的内角和A+B+C=,A=3,所以0B23.因为b=asinAsinB=4sinB,所以SABC=12absinC
7、=43sinBsin23-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-6+3.因为0B23,所以-62B-676.当2B-6=2,即B=3时,ABC面积取得最大值33.4.解(1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-232cos45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.故cosC=1-sin2C=25
8、5,则tanC=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=211.5.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sin
9、C,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.6.解(1)因为mn,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C(0,),故C=3.(2)由(1)知B=23-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin23-A=3sinA,即22+32cosA+12sinA
10、=sinA,可得sinA-3=22.因为0A23,所以-3A-33,所以cosA-3=22,故sinA=sinA-3+3=sinA-3cos3+cosA-3sin3=6+24.7.解(1)如图所示,在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过点D作DFBC,且DF=AC,所以SABC=12ABAC,SCDF=12CDDF,且CDF的面积等于ABC的面积.由于DF=AC,所以CD=AB.D为BC的中点,故BC=2AB,所以ABC=60.(2)如图所示,设AB=k,因为A=90,ABC=45,BD=3DC,DF=AC,所以AC=k,CB=2k,CD=24k,DF=k.因为DFBC,所以CF2=CD2+DF2,解得CF=324k.且BF2=BD2+DF2,解得BF=344k.在CBF中,利用余弦定理得cosCFB=CF2+BF2-BC22CFBF=98k2+178k2-2k22324k344k=51751.
