1、课时跟踪检测（七） 椭圆的简单几何性质层级一学业水平达标1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0)B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A BC D解析：选A依题意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A3已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Aa225，b2
2、16Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29解析：选D因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b294已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P若2，则椭圆的离心率是()A BC D解析：选D2，|2|又POBF，即，e5椭圆mx2ny2mn0(mn0)的焦点坐标是()A(0，) B(，0)C(0，) D(，0)解析：选C化为标准方程是1，mn0，0n0)，椭圆过点P(5,4)，1解得a245椭圆方程为1答案：18设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，
3、则点A的坐标是_解析：设A(m，n)由5，得B又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以点A的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28故椭圆C的标准方程为110椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由A
4、PO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2y22y2axx2又P点在椭圆上，故1把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2由b2a2c2，得a2又0e1，e1层级二应试能力达标1椭圆1与1(0kb0)，则c又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x214(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A BC D解析：选A如图所
5、示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|又由OEMF，得，则|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故选A5已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因为e0，所以e答案：6已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是_解析：由题意，知a10，b8，不妨设椭圆方程为1，其上的点M(x
6、0，y0)，则|x0|a10，|y0|b8，点M到椭圆中心的距离d因为1，所以y6464x，则d ，因为0x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，8设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|3
7、|F1B| (1)若|AB|4，ABF2 的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|835(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e
