1、河南省实验中学2014届高三数学模拟考试数学(理科)【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（ ）A【知识点】交集及其运算A1【答案
2、解析】B 解析：集合M=3，log2a，N=a，b，MN=0，log2a=0，解得a=1，b=0，MN=0，1，2故选：B【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出MN【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2 B.0 C.2 D.4【知识点】等差数列的前n项和D2【答案解析】A 解析：等差数列an的前n项和为Sn，S8S4=36，a6=2a4，解得a1=2，d=2故选：A【思路点拨】等差数列an的前n项和为Sn，由已知得，由此能求出结果【题文】3设随机变量服从正态分布N（2，2），若P(c)=, 则P(4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1
3、-2 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义I3【答案解析】B 解析：随机变量X服从正态分布N（2，2），对称轴是：=2，又4c与c关于=2对称，由正态曲线的对称性得：p（4c）=1p（c）=1a故选B【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（4c）=1p（c），得到结果【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面
4、积S=56=30，高h=5，则其体积V=Sh=305=50故选B【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是 （ ）(A) 等腰三角形 (B)等腰梯形 （C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D【思路点拨】由题意作出简图分析【题文】6函数在区间的最大值为 （ ）(A)1 (B
5、) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性 C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx=x，2x+函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间，的最大值为故选：C【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求【题文】7设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（ ） (A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增 (C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减 【知识点】奇偶性与单调性的综合B4 B3 【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x
6、2），则函数的周期是2，若f（x）在区间2，3单调递减，则f（x）在区间0，1上单调递减，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）在区间1，0上单调递减，且f（x）在区间1，2上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质H6【答案解析】B 解析：如图在RtMF1F2中，MF1F2=30，F1F2=2c，故选B【思路点拨】先在RtMF1F2中，利用MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的
7、定义求得a，最后根据a和c求得离心率【题文】9.已知外接圆的半径为，且，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型K3【答案解析】B 解析：=，圆的半径为1，cosAOB=，又0AOB，故AOB=，又AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自ABC内的概率为，即=，S，设BC=a，AC=bC=，得ab=3，由AB2=a2+b22abcosC=3，得a2+b2ab=3，a2+b2=6联立解得a=b=ABC为等边三角形故选：B【思路点拨】根据向量的数量积求得AOB=，进而求得A
8、B的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论【题文】10.已知数列满足，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式 D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，又a1=0，是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，则a13=1691=168故选：C【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的
9、六位数的个数为（ ） A432 B288 C216 D144【知识点】排列、组合及简单计数问题J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种先排3个奇数：若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6=72种若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6=144种综上，满足条件的六位数共有 72
10、+72+144=288种，故选B【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是 （ ）A B. C D【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质B3 B6【答案解析】C 解析：当a0时，y=在（，上为减函数，在，+）上为增函数，且y=0恒成立若函数在区间0，1上单调递增，则y=在0，1上单调递增则0解得a（0，1当a=0时，在区间0，1上单调递增，满足条件当a0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，
11、ln为减函数，在ln，+）上为增函数则ln0，解得a1综上，实数a的取值范围是1，1，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a0，a=0，a0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案【题文】第卷（非选择题 共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影. 甲说：乙去我才去； 乙说：丙去我才去； 丙说：甲不去我就不去； 丁说：乙不去我就不去。最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是 【知识点】简单的合情推理M1【答案解析】甲乙丙 解析：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题
12、意故答案为：甲乙丙【思路点拨】由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，即可得出结论【题文】14.某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10，属于第二档电价的家庭约占40，属于第三档电价的家庭约占30，属于第四档电价的家庭约占20。为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图由此直方图可以做出的合理判断是 年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档年月均用电量超过240千瓦时的家
13、庭属于第四档该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数【知识点】频率分布直方图I2【答案解析】 解析：根据频率分布直方图，得：对于，年月均用电量不超过80千瓦时的家庭频率是0.002540=0.1，属于第一档，是正确的；对于，年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭的频率是0.004040+0.006040+0.004540=0.580.40，属于第二档，是错误的；对于，年月均用电量超过240千瓦时的家庭的频率是0.002040+0.0010403=0.20，属于第四档，是正确的；对于，由频率分布直方图知，该组数据多集中在200以前的小数据，所以中位数应较小，平均数因受
14、极大值的影响，平均数应大于中位数，是正确的综上，判断正确的是故答案为：【思路点拨】根据频率分布直方图，结合题意，对、进行判断即可得出正确的结论【题文】15.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案解析】8+2 解析：该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，则圆柱的体积为V1=122=2，长方体的体积为V2=142=8，则该几何体的体积为V=V1+V2=8+2，故答案为8+2【思路点拨】该几何体由一个长方体和两个半圆柱构成，代入求解【题文】16.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|+|为两点之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：到原点
15、的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线.其中正确的命题是_.（写出所有正确命题的序号）【知识点】简单的合情推理M1【答案解析】 解析：到原点的“折线距离”等于2的点的集合（x，y）|x|+|y|=2，是一个正方形，故正确，到原点的“折线距离”等于1的点的集合（x，y）|x|+|y|=1，是一个正方形，故错误；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是（x
16、，y）|x+1|+|y|+|x1|+|y|=4=（x，y）|x+1|+|x1|+2|y|=4，故集合是面积为6的六边形，则正确；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的集合（x，y）|x+1|+|y|x1|y|=3=（x，y）|x+1|x1|=3，集合是两条平行线，故正确；故答案为：【思路点拨】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可到原点的“折线距离”等于2的点的集合（x，y）|x|+|y|=2，是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点的集合（x，y）|x|+|y|=1，是一个正方形；|x+1|+|y|+|x1|+|y|=
17、4，把横坐标x分成三段，x1、1x1与x1；把纵坐标y分成二段，y0与y0，共六种情况讨论，即可画图得到结论；|x+1|+|y|x1|y|=3，同上方法即得两直线为x=三、解答题：本大题过6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数（）证明：数列是等比数列；（）当时，数列满足，求数列的通项公式【知识点】数列递推式；等比关系的确定D1 D3【答案解析】（）见解析（）解析：（）证明：因为,则，所以当时，整理得-4分由，令，得，解得所以是首项为，公比为的等比数列 -6分（）当时，由（）知，则，由，得 ， - 8分
18、当时，可得， -10分当时，上式也成立 数列的通项公式为 - 12分【思路点拨】（1）通过Sn=4anp，利用an=SnSn1，求出，利用等比数列的定义证明数列an是等比数列；（2）当p=3时，若数列bn满足bn+1=bn+an（nN*），b1=2，推出，利用bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1），求数列bn的通项公式【题文】18. （本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直
19、方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.（）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；（II）根据频率分布直方图填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关.甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计0.250.150.100.050.0251.3232.0722.7063.8415.024附【知识点】独立性检验的基本思想；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列I2 K6【答案解析】（）（）有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关 解析：（1）根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4
20、，的可能取值是0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=的分布列是E=（）由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知=4.762，由于4.7623.841，有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关【思路点拨】（）根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件和古典概型概率公式写出变量的概率，写出分布列和期望（）根据频率分步直方图所给的数据，写出列联表，填入列联表的数据，利用求观测值的公式，代入列联表中的数据，得到观测值，同临界值进行比较，得到结论【题文】19.（本小题满分12分）
21、如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求锐二面角的余弦值. 【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法G5 G11【答案解析】（）见解析（） 解析：（）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. -2分设，则.，. -4分又， 平面.-6分（）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.-8分由（）知，平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取.-10分设锐二面角的大小为，则.所求锐二面角的余弦值为.-12分【思路点拨】（）由已知中三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABC为等腰直角三角形
22、，BAC=90，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点，结合等腰三角形性质及直三棱柱的几何特征，我们易判断出AFB1F，B1FEF，进而根据线面垂直的判定定理即可得到B1F平面AEF；（） B1MAE于M，连接FM，由三垂线定理我们易得B1MF即为二面角B1AEF的平面角，解三角形B1MF，即可求出二面角B1AEF的正切值【题文】20.（本小题满分12分）已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上（）求椭圆的标准方程；（）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；（）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值【知识点】圆与圆
23、锥曲线的综合H8 H9【答案解析】（）（） （）解析：（）由点在直线上，得，故， 从而 2分所以椭圆方程为 4分（）以为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径6分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离所以，解得所求圆的方程为9分（）方法一：由平几知：，（K为垂足）直线，直线，由得所以线段的长为定值 13分方法二：设，则又所以，为定值 【思路点拨】（） 把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（） 设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标
24、和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x4y5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（）设出点N的坐标，表示出，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值【题文】21.（本小题满分14分）设函数（）求的单调区间；
25、（）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；（）证明：当时，【知识点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性E7 B12【答案解析】（）在上单调递增，在上单调递减.（） （）见解析解析：（）时，在上是增函数-1分当时，由，由，在上单调递增，在上单调递减. -4分（）当时，由（）知，在上单调递增，在上单调递减，又， -6分当时，方程有两解 -8分（）.要证：只需证只需证： 设， -10分则由（）知在单调递减， -12分，即是减函数，而【思路点拨】（）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（）由（）知，f（x）在上单调递增，在0，1上单调递减可得解（）根据要证明的结论，利用分析法来证
26、明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.【题文】22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲. 如图，是圆O的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连结、并延长交圆O于点、. （）求证：、四点共圆；（II） 求证：. 【知识点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定N1【答案解析】（）见解析（）见解析 解析：（）连结，则，又，则，即，则、四点共圆.(5分)（）由直角三角形的射影原理可知，由与相似
27、可知：，则，即. (10分)【思路点拨】（）连结BN，证明BEF+BNF=180，即可证明B、E、F、N四点共圆；（）由直角三角形的射影原理可知AC2=AEAB，由RtBEF与RtBMA相似可知：，即可得出结论【题文】23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程是（为参数，），射线与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C.（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|;（II）当时，B，C两点在曲线C2上，求的值.【知识点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程N3【答案解
28、析】（）见解析（）m=2，= 解析：（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），（2分）则|OB|+|OC|=4cos（+）+4cos（）=2（cossin）+2（cos+sin）=4cos，=|OA|（5分）（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）化为直角坐标为B（1，），C（3，）（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），故直线的斜率为，（9分）所以m=2，=（10分）【思路点拨】（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），利用三角恒等变换化简|OB|+|
29、OC|为4cos，=|OA|，命题得证（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），由此可得m及直线的斜率，从而求得的值【题文】24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数R.（I）当时，解不等式；（II）当时，.求的取值范围.【知识点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法N4【答案解析】（）x|0x4（）（，2 解析：（）a=3时，f（x）=丨x3丨+|x1丨=，当x1时，由f（x）4得42x4，解得x0；0x1；当1x3时，f（x）4恒成立；当x3时，由f（x）4得
30、2x44，解得x43x4（4分）所以不等式f（x）4的解集为x|0x4（5分）（）因为f（x）=|xa|+|x1|xa+x1|=|2xa1|，当（x1）（xa）0时，f（x）=|2xa1|；当（x1）（xa）0时，f（x）|2xa1|（7分）记不等式（x1）（xa）0的解集为A，则（2，1）A，故a2，所以a的取值范围是（，2（10分）【思路点拨】（I ）当a=3时，f（x）=丨x3丨+|x1丨=，由 f（x）4即可求得不等式 f（x）4的解集；（II）由双绝对值的几何意义可得f（x）=|xa|+|x1|xa+x1|=|2xa1|，分（x1）（xa）0与（x1）（xa）0讨论，即可求得当x（2，1）时，f（x）|2xa1|的 a的取值范围附加思考题：(不用再卷子上作答 思考即可)【题文】25、 设的内角的对边分别为，则总有.由正弦定理得.由导数公式：，可以得到结论：对任意有.上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误.【知识点】导数的运算B11【答案解析】上述结论不正确 解析：上述结论不正确例如：当时，cosA+cosBcosC错误：求导运算不保证不等式关系不变【思路点拨】若结论成立就证明，若不成立举出反例即可
