1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆=1(ab0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()AB.2CD.2解析由题意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=,所以2c=2故选B.答案B2.(原创题)若点A(,-1)在抛物线y+px2=0上,则该抛物线的准线方程为()A.y=B.y=C.x=D.x=解析依题意有-1+p()2=0,因此p=,抛物线方程为x2=-2y,故其准线方程为y=答案A3.若椭圆=1的焦点在y轴上,则实数m的取值范围是()AB.(0,1)CD解析由题意得3m0,2m+10且2
2、m+13m,得0mb0)上任意一点到直线l1:x=-和l2:x=的距离分别为d1和d2,椭圆的焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A.1BCD解析由已知,得d1+d2=由d1,2c,d2成等差数列,得d1+d2=4c,=4c,得a=c,离心率e=,故选C.答案C7.双曲线C:x2-=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交点为P(异于坐标原点O),抛物线M的焦点为F,则OFP的面积为()ABCD解析双曲线C:x2-=1的一条渐近线方程为y=x,将y=x代入抛物线方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=,所以P,又抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则OFP的
3、面积为S=1故选A.答案A8.设A,P是椭圆+y2=1上的两点,点A关于x轴的对称点为点B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点M,点N,则的值等于()A.0B.1CD.2解析不妨设点P是椭圆的右顶点,即P(,0),因为A,B两点关于x轴对称,所以直线AP,BP与x轴的交点都是点P,即M,N,P三点重合,则=(,0)(,0)=2.答案D9.椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若AF1F2的面积为,且F1AF2=4AF1F2,则椭圆方程为()A+y2=1B=1C+y2=1D=1解析在AF1F2中,由题意可得AF1=AF2,F1AF2=4AF1F2,可得AF1F2=3
4、0,所以,又AF1F2面积为,即S=bc=,解得b=1,c=,则a=2,所以椭圆方程为+y2=1.答案C10.已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cosAPB的值为()ABC.-D.-解析由题可知,抛物线的焦点F(1,0),由于过抛物线y2=4x上一点P的直线与抛物线的准线x=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以点P的坐标为(2,2),点B的坐标为(-1,2),可得|AB|=2,由余弦定理得cosAPB=-答案D11.直线y=k(x-1)与椭圆C:=1交于不同的两点
5、M,N,椭圆=1的一个顶点为A(2,0),当AMN的面积为时,则k的值为()A.B.C.1D.解析直线y=k(x-1)与椭圆C联立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|MN|=A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=,AMN的面积S=|MN|d=AMN的面积为,k=1,故选C.答案C12.如图所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l,交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=+1,则此抛物线的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=xD.y2=3x解析如图,过
6、A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,过B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,P为准线与x轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=+1,因为|BC|=|BF|,所以|BC|=|BE|,所以DCA=45,|AC|=|AD|=2+,|CF|=|AC|-|AF|=2+-1=1,所以|PF|=,即p=|PF|=,所以抛物线的方程为y2=x,故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C:=1的焦距为4,点P(1,)在C的渐近线上,则C的方程为.解析双曲线C:=1的渐近线方程为y=x.双曲线C的焦距为2c=4,点P(1,)在C的渐近线上,可得
7、a=b,c2=a2+b2,a2=3,b2=1,双曲线C的方程为-x2=1.答案-x2=114.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切,则a的值等于.解析圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,由题意得m2+3=4,即m2=1(m0,b0)与抛物线C:y2=2px(p0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.解析因为抛物线与双曲线共焦点,所以c=,p=2c,抛物线方程为y2=4cx,设双曲线的左焦点为F1,F1(-c,0),过F1
8、与一条渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+c),由得by2-4acy+4bc2=0,所以=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,从而c=a,离心率为e=答案16.已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是.解析抛物线方程可化为x2=4y,焦点为F(0,1),准线为l:y=-1.延长PM交准线于N,连接PF,由抛物线定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,由于PAF中,|PA|+|PF|AF|,所以当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.又因为|AF|=,故
9、|PA|+|PM|的最小值为-1.答案-1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C:=1(a0,b0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程;(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F,若OEF的面积为2,求直线l的方程.解(1)由已知c=2及点P(3,)在双曲线C上,得解得a2=2,b2=2,双曲线C的方程为=1.(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,由得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,
10、x2是方程(*)的两个不等实根,1-k20且=16k2+24(1-k2)0,即k20),则=2,所以轨迹M的方程为y2=8x.(2)轨迹M的焦点(2,0),直线l的斜率k=tan 135=-1,于是其方程为y=-(x-2).由消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,于是|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆M:=1(ab0)的两个焦点,椭圆M的离心率为,P(x0,y0)是椭圆M上异于上下顶点的任意一点,且PF1F2面积的最大值为2(1)求椭圆M的方程;(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆C交于A
11、,B两点,=2,求直线l的方程.解(1)据题意,得a2=6,b2=2.椭圆M的方程为=1.(2)据题设分析知,直线AB的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1.联立消去y得(3+k2)x2+2kx-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-=2,(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),x1=-2x2,x1+x2=-x2=-,即x2=又x1x2=-2=-,k=故直线l的方程为y=-x+1,或y=x+1.20.(本小题满分12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)经过焦点F
12、作直线l,与抛物线相交于A,B两点,|=5,若=m,且点D在抛物线上,求实数m的值.解(1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为=1,因此c2=1,c=1,因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(1,0).则=1,2p=4,故抛物线标准方程为y2=4x.(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1).由可得y2-y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,x1+x2=+2.因为|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以k2=4,即k=2.设D(x0,y0),则由=m,得x0=(x1+x2)=,y0
13、=(y1+y2)=,由于点D在抛物线上,因此,可得m=21.(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,点M是抛物线上的定点,且=(4,0).(1)求抛物线C的方程;(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2-1=x1+m2(m为常数),直线l与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问ABN的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解(1)设M(x0,y0),由题意知F,所以=(4,0).所以即代入x2=2py(p0)中得16=p2,解得p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.(2)由题意知,直线AB的斜率存在,设其
14、方程为y=kx+b.由消去y,整理得x2-8kx-8b=0,则x1+x2=8k,x1x2=-8b.y1+y2=k(x1+x2)+2b=8k2+2b,设AB的中点为Q,则点Q的坐标为(4k,4k2+b).由条件设切线方程为y=kx+t,由消去y整理得x2-8kx-8t=0.直线与抛物线相切,=64k2+32t=0.t=-2k2.x2-8kx+16k2=0,解得x=4k,y=2k2,切点N的坐标为(4k,2k2).NQx轴,|NQ|=(4k2+b)-2k2=2k2+b.x2-x1=m2+1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=64k2+32b,2k2+b=SABN=|NQ|x2-x1|
15、=(2k2+b)|x2-x1|=m为常数,ABN的面积为定值,且定值为22.(本小题满分12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.证明:PQG是直角三角形;求PQG面积的最大值.解(1)由题设得=-,化简得=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由得x=记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.()设G(xG,yG),则-u和xG是方程()的解,故xG=,由此得yG=从而直线PG的斜率为=-所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得|PQ|=2u,|PG|=,所以PQG的面积S=|PQ|PG|=设t=k+,则由k0,得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在区间2,+)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为因此,PQG面积的最大值为