1、冲刺4 动态探究考向1 动点与最值1如图，在RtABO中，OBA=90，A(4，4)，点C在边AB上，且=，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）A(2，2)B(，)C(，)D(3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4)，D(2，0)，C(4，3)，点D关于AO的对称点D(0，2)，设lDC：y=kx+b，将D(0，2)，C(4，3)代入，可得y=x+2，与y=x联立，得，x=，y=，P(，)故选C2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图像上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM.则线
2、段OM的长度的最小值是 （用含k的代数式表示）.【答案】【解析】过点A作x轴AC，过点B作y轴BD，垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短.即OM垂直平分AB设点A坐标为（a，a 4），则点B坐标为（a 4，a），点F坐标为（a，a）.由题意可知AFB为等腰直角三角形，AB=，AF=BF=4.点A在反比例函数y=的图象上，a (a4)=k，解得a = .在RtOCF中，OF= a = = ，OM=OFFM= =.3图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切
3、线;（2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.解：（1）过点O作OGCD于点G，菱形ABCD中，AC是对角线， AC平分BCD，OHBC， OH=OG，OH是O的半径， OG等于O的半径，CD是O的切线.（2）AC=4MC，AC=8，OC=2MC=4，MC=OM=2，OH=OM=2，在RtOHC中，OH=2，OC=4， HC=，tanHOC=，HOC=60， S阴影=SOCHS扇形OHM=.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.ON=OM=OH，MOH
4、=60， MNH=30，MNH=HCM， HN=HC=，即PH+PM的最小值为.在RtNPO中，OP=ONtan30=，在RtCOD中，OD=OCtan30=，PD=OP+OD=.4如图，在半面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.(1)当OAD=30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形 OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值.解：（1
5、）如图1，过点C作CEy轴，垂足为E.矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=30.在RtCED中，CE=CD=2，DE=;在RtOAD中，OAD=30，OD=AD=3.点C的坐标为(2，).(2)M为AD的中点，DM=3，.又，.设OA=x，OD=y，则，即，x=y.将x=y代入得，解得(不合题意，舍去)，OA的长为.（3）OC的最大值为8.理由如下：如图2，M为AD的中点，OM=3，.OCOM+CM=8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8.连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N.CDM=ONM=90，CMD
6、=OMN，CMDOMN，即，解得，.在RtOAN中，.5如图，在等边ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小
7、值解：（1）ABC为等边三角形，B=60，BPPQ，2BP=BQ即2（6t）=6t，解得t=2当t为2时，BPQ为直角三角形；（2）存在作射线BF，PEAC，AE=0.5t四边形CQFE是平行四边形，FQ=EC=60.5t，BF平分ABC，FBQBQF=90BQ=2FQ，BQ=6t，6t=2（60.5t），解得t=3 （3）过点P作PGCQ交AC于点G，则APG是等边三角形BPPQ，EG=AGPGCQ，PGD=QCD，PDG=QDC，PG=PA=CG=t，PGDQCDGD=GCDE=AC=3（4）连接AM，ABC为等边三角形，点M是BC的中点，BM=3由勾股定理，得AM=3 由折叠，得BM=3
8、当A 、B、M在同一直线上时，AB的值最小，此时AB=33.过点B作BHAP于点H，则cos30=，即=，解得t=93t为93时，AB的值最小，最小值为33考向2 动点与图形存在性问题1.如图，已知直线AB与抛物线：y=ax2+2x+c相交于点A（-1，0）和点B（2，3）两点.（1）求抛物线C函数解析式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在顶点F，使抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点
9、F的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得a-2+c=04a+4+c=3，解得，a=-1c=3，抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MHy轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，-k+b=02k+b=3，解得，k=1b=1.直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3），则H（m，m+1）MH=yM-YH=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.SABM=SAMH+SBMH=12MH（xB-xA）=12(-m2+m+2)(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278.四
10、边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，ABMBAN.S四边形MANB=2 SABM=-3(m-12)2+274，a=-30且开口向下，当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）.（3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.P到F的距离等于到直线y=174的距离，4-t=14，即t=154.F为（1，154），设P点为（a，-a2+2a+
11、3），由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又PT2=174-(-a2+2a+3)2= a4-4a3+132a2-5a+2516.PF2=PT2，即PF=PT.当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离.2.如图，抛物线y= ax2+bx+c的图象过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是
12、否存在点M （不与C点重合），使得 SPAM=SPAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知，解得，抛物线的解析式为y= -x2+2x+3；（2）存在.连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAC的周长最小.设BC:y=kx+3，则3k+3=0，解得k=-1，BC:y=-x+3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-x+3=2，P（1，2）.在RtOAC中，AC=；在RtOBC中，BC=3.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=PB，PAC的周长=AC+PC+PA= AC+PC+PB=AC+BC=+3.综上，存在符合条件的点P，其坐标为（1，2），
13、此时PAC的周长为+3；（3）存在.由题知AB=4，SPAC=SABC-SPAB=43-42=2.设：AP:y=mx+n，则，解得，AP:y=x+1.过点C作AP的平行线交x轴上方的抛物线于M，易得CM:y=x+3，由解得，M（1，4）；设抛物线对称轴交x轴于点E（1，0），则SPAC=22=2=SPAC过点E作AP的平行线交x轴上方的抛物线于M，设EM:y=x+t，则1+t=0，t=-1，EM:y=x-1. 由解得（舍），M（，）.综上，存在符合条件的点M，其坐标为（1，4）或（，）.考向3 动点与函数图像问题1如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿ABCD路径匀速运动到点D，设
14、PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为( )【答案】A【解析】点P在整个运动过程中，PAD的底边AD始终不变，故面积的变化取决于AD边上高线的变化，当点P在AB上运动时，高线均匀变大，故面积也均匀变大，当点P在BC上运动时，由于BCAD，平行线间距离处处相等，故高线不变，面积也不发生改变，当点P在CD上运动时，高线又会均匀变小，故面积也会均匀变小，故选A2如图，在直角三角形ABC中，C=90，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF
15、与ABC的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）【答案】C【解析】由题意知，四边形CDEF在运动过程中，与ABC的重叠部分面积是由矩形到五边形，再到三角形，最后点C与点A重合时停止运动，呈现出的图象是曲线，故选C3.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按ADC，ABC的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）【答案】A【解析】当0x2时，正方形的边长为2cm，y=SAPQ=12AQAP=12x2；当2x4时，y=SAPQ=S正方形
16、ABCDSCPQSABQSAPD，=22-12（4x）2-122（x2）-122（x2）=-12x2+2xy与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合故选A4如图，函数(k为常数，k0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F现有以下四个结论：ODM与OCA的面积相等；若BMAM于点M，则MBA=30；若M点的横坐标为1，OAM为等边三角形，则k=；若MF=MB，则MD=2MA其中正确的结论的序号是 【答案】答案：【解析】设点A（m，）
17、，M（n，），则直线AC的解析式为y=x+，C（m+n，0），D（0，），SODM=n=，SOCA=（m+n）=，ODM与OCA的面积相等，故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称，O是AB的中点.BMAM，OM=OA，k=mn，A（m，n），M（n，m），AM=（nm），OM=，AM不一定等于OM，BAM不一定是60，MBA不一定是30故错误；M点的横坐标为1，可以假设M（1，k），OAM为等边三角形，OA=OM=AM，1+k2=m2+，m=k.OM=AM，（1m）2+=1+k2，k24k+1=0，k=2.m1，k=2+，故正确，如图，作MKOD交OA于KOFMK，=，=，OA=OB，=，=，KMOD，=2，DM=2AM，故正确故答案为