1、习题课导数的综合应用课后篇巩固提升1.若不等式-x3+2x+ax0在1,2上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,-1)C.(-,4)D.(4,+)解析依题意不等式x3-2x-ax3-2x,令g(x)=x3-2x,则g(x)=3x2-20在1,2上恒成立,因此g(x)max=g(2)=4,故a4.答案D2.已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则不正确的选项是()A.f(x)在x=-1处取得极大值B.f(x)在R上有两个极值点C.f(x)在x=2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点解析由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)=(x2-3x+1)ex,
2、所以f(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,令f(x)=0,得x=-1或x=2,当x0,函数单调递增;当-1x2时,f(x)2时,f(x)0,函数单调递增.故函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-1处取得极大值.f(x)=(x2-3x+1)ex=0,x2-3x+1=0,=(-3)2-411=50,方程有两个不相等的实根,故函数f(x)在R上有两个不同的零点.根据以上得出的结论可以判断选项D说法不正确,故选D.答案D3.方程x-ln x-2=0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析令f(x)=x-lnx-2,则由f(x)=12x-1x=0,得x=4.当0x4时,f(x
3、)4时,f(x)0,x=4是f(x)的唯一极小值点,且f(4)0,f(e4)=e2-60,f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一个零点.对应的方程有2个根.故选C.答案C4.设函数f(x)是奇函数f(x)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)解析令g(x)=f(x)x,则g(x)=xf(x)-f(x)x2,因为x0时,xf(x)-f(x)0,则g(x)0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).故选B.答案B5.已知y=f(x)为R上的可
4、导函数,当x0时,f(x)+f(x)x0,则函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2解析因为函数y=f(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)+f(x)x0,即xf(x)+f(x)x0.当x0时,xf(x)+f(x)0;当x0时,xf(x)+f(x)0.由g(x)=xf(x)+1x=h(x)x可知,g(x)的零点就是h(x)的零点,而h(x)无零点.故选C.答案C6.函数f(x)=x3-12x+3,g(x)=3x-m,若x1-1,5,x20,2,f(x1)g(x2),则实数m的最小值是.解析由题意f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),则f(x)在-1
5、,2上单调递减,在2,5上单调递增,所以当x-1,5时,f(x)min=f(2)=8-24+3=-13.又g(x)=3x-m在0,2上单调递增,所以x0,2时,g(x)min=g(0)=1-m,所以-131-m,得m14,故mmin=14.答案147.函数y=ln x+x2的图象与函数y=3x-b的图象有3个不同的交点,则实数b的取值范围是.解析依题意方程lnx+x2-3x+b=0有3个实数根,即b=-lnx-x2+3x,令f(x)=-lnx-x2+3x,则f(x)=-1x-2x+3=-2x2+3x-1x=-(2x-1)(x-1)x,因此f(x)在x=12取得极小值f12=54+ln2,在x=
6、1取得极大值f(1)=2,故实数b的取值范围是54+ln2,2.答案54+ln2,28.已知函数f(x)=e2x-a(x+2).当a=2时,f(x)的增区间为;若f(x)有两个零点,则实数a的取值范围为.解析(1)当a=2时,f(x)=e2x-2x-4,求导得f(x)=2e2x-2,令f(x)0,解得x0,所以f(x)的单调增区间为(0,+);(2)f(x)=2e2x-a,当a0时,因为2e2x0,所以f(x)0恒成立,此时f(x)单调递增,不存在两个零点,故舍去;当a0时,易知当x12lna2,+时,f(x)0,f(x)单调递增;当x-,12lna2时,f(x)0,f(x)单调递减;又当x+
7、时,f(x)+,当x-时,f(x)+,若使f(x)有2个零点,只需最小值f12lna20即可,即f12lna2=e212lna2-a12lna2+2=-a2lna2-32a=-a2lna2+32e-3.故a(2e-3,+).答案(0,+)(2e-3,+)9.已知函数f(x)=ln x.(1)若函数h(x)=f(x)+12x2-ax在点(1,h(1)处的切线与直线4x-y+1=0平行,求实数a的值;(2)对任意的a-1,0),若不等式f(x)lnx-12ax2-2x对任意的a-1,0)恒成立,则blnx-12ax2-2xmax,由函数(a)=-12x2a-2x+lnx在a-1,0)内单调递减,所
8、以(a)max=(-1)=12x2-2x+lnx,因此问题转化为不等式b12x2-2x+lnx在x(0,1上恒成立,令G(x)=12x2-2x+lnx,则G(x)=x-2+1x=(x-1)2x0.因此G(x)max=G(1)=-32,故b的取值范围为-32,+.10.已知函数f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f(x)=34x2-2x+1.令f(
9、x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0,f83=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83,即y=x与y=x-6427.(2)证明令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=14x3-x2得g(x)=34x2-2x.令g(x)=0得x=0或x=83.g(x),g(x)的情况如下:x-2(-2,0)00,838383,44g(x)+-+g(x)-6单调递增0单调递减-6427单调递增0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)解由(2)知,当a3;当a-3时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.