1、2.1.2 空间两条直线的位置关系 教学目的：1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角 教学重点：公理 4 及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点：公理 4 及等角定理的运用异面直线所成的角.教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）二、讲解
2、新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2 平行直线（1）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：/,/ab bcac 说明：公理 4 表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等
3、根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在 已知：BAC和B A C 的边/,/ABA B ACA C ，并且方向相同，求证：BACB A C 证明：在BAC和B A C 的两边分别截取,ADA D AEA E ，/,ADA D ADA D ，A D DA 是平行四边形，/,AADD AADD，同理/,AAEE AAEE，AEDBCEDCBAADGFHEBC/,EEDD EEDD，即 D E ED 是平行四边形，EDE D，ADEA D E ，所以，BACB A C (4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线
4、所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.3.空间两条异面直线的画法baababD1C1B1A1DCBA4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,ABlBl AB 与 l 是异面直线 证明：（反证法）假设 直线 AB 与l 共面，,BlBl，点 B 和l 确定的平面为，直线 AB 与l 共面于，A，与 A矛盾，所以，AB 与l 是异面直线 5异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O 作直线/,/aa bb，,a b所成的角的大小与点O的选
5、择无关，把,a b所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(6异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线,a b 垂直，记作 ab 7求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求三、讲解范例：例 1 已知四边形 ABCD 是空间四边形，E、H 分别是AB、AD 的中点，F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且bOba32 CDCGCBCF，求证：四边
6、形 EFGH 是梯形 分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例 证明：如图，连接 BD EH 是ABD 的中位线，EH/BD,EH=21 BD.又在BCD 中，32 CDCGCBCF，FG/BD,FG=32 BD.根据公理 4，EH/FG 又 FGEH,四边形 EFGH 的一组对边平行但不相等 例 2 如图，A 是平面 BCD外的一点,G H 分别是,ABCACD的重心，求证：/GHBD 证明：连结,AG AH 分别交,BC CD于,M N，连结 MN，,G H 分别是,ABCACD的重心，,M N 分别是,B
7、C CD的中点，/MNBD，又23AGAHAMAN，/GHMN，由公理 4 知/GHBD 例 3 如图，已知不共面的直线,a b c 相交于O点，,M P是直线 a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点 求证：MN 和 PQ是异面直线 证（法一）：假设 MN 和 PQ不是异面直线，则 MN 与 PQ在同一平面内，设为，,M Pa M P，a，又oa，o，,NOb Nb，b，同理c，,a b c 共面于，与已知,a b c 不共面相矛盾，所以，MN 和 PQ是异面直线（法二）：acO，直线,a c 确定一平面设为 ，NMHGDCBAcbaQPNMO,Pa Qc，,PQ，PQ且,MMPQ，
8、又,a b c 不共面，Nb，N，所以，MN 与 PQ为异面直线 例 4 正方体 ABCDA B C D 中那些棱所在的直线与直线 BA是异面直线？求 BA与CC 夹角的度数那些棱所在的直线与直线 AA垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线 BA成异面直线的有直线,B C AD CC DD DC D C ，（2）由/BBCC，可知B BA等于异面直线 BA与CC 的夹角，所以异面直线BA与CC 的夹角为 45 （3）直线,AB BC CD DA A B B C C D D A 与直线 AA 都垂直 例 5 两条异面直线 的公垂线指的是()(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异
9、面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D)和两条异面直线都垂直的所有直线答案：B例 6 在棱长为 a 的正方体中，与 AD 成异面直线且距离等于 a 的棱共有()(A)2 条 (B)3 条 (C)4 条 (D)5 条 答案：BB1,CC1,A1B1,C1D1 共四条故选 C.例 7 若 a、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是()(A)与 a、b 都垂直的直线只有一条(B)a 与 b 的公垂线只有一条(C)a 与 b 的公垂线有无数条(D)a 与 b 的公垂线的长就是 a、b 两异面直线的距离答案：B例 8 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱
10、长为 a，则棱 A1B1 所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是()（A）a22（B）a（C）a2（D）2a答案：A四、课堂练习：1 判断（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行 .（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）DABCBACDA1B1C1D1DCBA（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2选择题 （1）“
11、a，b 是异面直线”是指 ab=且 a 不平行于 b；a 平面，b 平面且 ab=a 平面，b 平面 不存在平面，能使 a 且 b 成立 上述结论中，正确的是 （）（A）（B）（C）（D）（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2 对（B）3 对（C）6 对（D）12 对（3）两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交，则直线 a，b 的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异
12、面 答案：（1）C（2）C（3）A（4）D 3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面 4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面 5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线 解：6选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能 （2）异面直线 a,b 满足 a,b,=l，则l 与 a,b 的位置关系一定是（）（A）l 至多与 a，b 中的一条相交（B）l 至少与 a，b 中的一条相交 （C）l 与 a，b 都相交 （D）l 至少
13、与 a，b 中的一条平行（3）两异面直线所成的角的范围是 （）（A）（0,90）（B）0,90)（C）（0,90（D）0,90 答案（1）D（2）B（3）：C7判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （）（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （）（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （）（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （）答案：，五、小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”
