1、高考帮 第 1 页 共 8 页 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 1.已知点 P 在曲线 y=4(2+1)ln2上,为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是()A.0,4)B.4,2)C.(2,34 D.34,)2.2021 晋南高中联考函数 f(x)=ln 2x-1的图象在点(12,f(12)处的切线方程为()A.y=6x-5 B.y=8x-6 C.y=4x-4 D.y=10 x-7 3.条件创新已知函数 f(x)=(x2+m)ex(mR)的图象在 x=1 处的切线的斜率等于 e,且 g(x)=(),则 g(-1)=()A.4e B.-4e C.e4 D.-e4 4.
2、易错题已知函数 f(x)=f(1)x2+2x+2f(1),则 f(2)的值为()A.-2 B.0 C.-4 D.-6 5.2021 石家庄市一检原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出、等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中,其含量 N(单位:贝克)与时间 t(单位:天)满足函数关系 N(t)=N02-24,其中 N0为 t=0 时钍 2
3、34 的含量.已知 t=24 时,钍 234 含量的瞬时变化率为-8ln 2,则 N(120)=()A.12 贝克 B.12ln 2 贝克 C.6 贝克 D.6ln 2 贝克 6.2020 江西五校联考已知曲线 C:y=xex过点 A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数 a 的取值范围是()A.(-,-4)(0,+)B.(0,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)高考帮 第 2 页 共 8 页 7.2020 福建五校联考已知函数 f(x)=ln(-+1),g(x2)成立.11.数学探索已知函数 f(x)=12ax2-ax+ln x 的图象在点(x1,f(x1)处与点(x2,f(x2)(
4、x1x2)处的切线均平行于 x 轴,则 x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是()A.(-,-74-2ln 2)B.(-74-2ln 2,74-2ln 2)C.(74-2ln 2,+)D.(-74-2ln 2,+)12.2021 南昌市高三测试已知曲线 C1:y=ex+m,C2:y=x2,若恰好存在两条直线 l1,l2与曲线 C1,C2都相切,则实数 m 的取值范围是()A.(2ln 2-2,+)B.(2ln 2,+)C.(-,2ln 2-2)D.(-,2ln 2)13.2020 长春市第四次质量监测函数 f(x)=emx+e-mx+x2-mx(mR)的图象在点 A(x1,f
5、(x1),B(-x1,f(-x1)处两条切线的交点 P(x0,y0)一定满足()A.x0=0 B.x0=m C.y0=0 D.y0=m 14.2021 惠州市二调已知实数 a0,函数 f(x)=2+a2x+aln x,x(0,10).(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,曲线 y=f(x)在点 P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2)(x1x2)处的切线分别为 l1,l2,且 l1,l2在 y轴上的截距分别为 b1,b2,若 l1l2,求 b1-b2的取值范围.高考帮 第 3 页 共 8 页 15.2020 唐山市摸底考试已知函数 f(x)=axsin
6、 x+bcos x,且曲线 y=f(x)与直线 y=2相切于点(2,2).(1)求 f(x);(2)若 f(x)mx2+1,求实数 m 的取值范围.16.角度创新已知函数 f(x)=ex,g(x)=ln x.(1)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=kx+b,且存在实数m,n,使得直线y-m=k(x+n)+b 与曲线y=g(x)相切,求m+n的值;(2)若函数(x)=x+af(x)(g(x)-x)有零点,求实数 a 的取值范围.答 案 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 1.D y=4(2+1)ln2的导数为 y=4ln2-2ln2(2+1)2=-42+12+2,由 2x+
7、122212=2(当且仅当 x=0 时取等号),得12+12+2(0,14,所以-42+12+2-1,0),即 tan-1,0),结合 0,可得34 0,解得 a0.故选 A.7.B 令 g(x)=x2+3x(x0),则 g(x)=2x+3,所以 g(0)=3,所以函数 g(x)的图象在原点处的切线方程为 y=3x,故函数f(x)的图象在原点处的切线方程为 y=3x.如图 D 3-1-1,画出函数 f(x)的图象,切线 y=3x,以及直线 y=(m+2)x,分析可知,为满足 f(x)-(m+2)x0,即 f(x)(m+2)x,则 0m+23,解得-2m1.故选 B.图 D 3-1-1【解后反思
8、】本题具有一定的综合性,求解的关键有两点:一是借助数形结合思想灵活处理不等关系;二是借助“旋转分析”灵活构建关于参数的不等式.8.2 因为(x3+ax+b)=3x2+a,所以3 12+=2,13+1+=3,解得=-1,=3,所以 a3+b=2.9.4 y=1,设切点坐标为(x0,y0)(x00),则0=ln0+1,0=0+,=10,所以 b=ln x0,所以 4a+eb=40+x0240 0=4,当且仅当x0=2 时取“=”,故 4a+eb的最小值为 4.10.(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ln x+1-mx,f(1)=1-m,因为 f(x)的图象在(1,f(1)处的切线与直线
9、 x-y+1=0 平行,所以 1-m=1,即 m=0.(2)在(1)的条件下,f(x)=xln x,f(x)=ln x+1,当 x(0,1e)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(x)=xln x 在 x=1e时取得最小值 f(1e)=1e,所以 f(x1)1e.高考帮 第 5 页 共 8 页 g(x)=+1e 2ex+e-1e,则 g(x)=e 2e,令 h(x)=g(x)=e 2e,x0,则 h(x)=1-e,所以当 x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,当 x(1,+)时,h(x)0 时,g(x)g(1)=h(1)=1e,因为 g(x)1e0,所以 g(x)在(0,+)上单
10、调递减,所以 g(x2)g(x2).11.A 函数 f(x)的定义域为(0,+),且 f(x)=ax-a+1=2-+1,则根据导数的几何意义知 x1,x2是方程 ax2-ax+1=0的两个不等正根,则=2-4 0,12=1 0,1+2=1,则 a4.令 h(a)=x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)=1+1+ln x1+12a12 ax1+ln x2+12a22 ax2=1+1+ln 1+12a(12)-a=12a-ln a+1.易知函数 h(a)=12a-ln a+1在(4,+)上单调递减,则h(a)0,所以e0+4(1-x0)=0,即e0+4x0+4=0.依题意可知关于 x0的方程
11、e0+4x0+4=0 有两个不同的根.构造函数 g(x)=ex+m-4x+4,则 g(x)有两个零点.(题眼)g(x)=ex+m-4,令 g(x)=0,解得 x1=ln 4-m,令 g(x)0,得 xx1,令 g(x)0,得 xx1,所以 g(x)在(-,x1)上单调递减,在(x1,+)上单调递增,且当 x-时,g(x)+,当 x+时,g(x)+,所以要使 g(x)有两个零点,则需 g(x1)0,即 eln 4-4(ln 4-m)+40,解得 m2ln 2-2.故选 C.解法二 同解法一得到“关于 x0的方程e0+4x0+4=0 有两个不同的根”,即e0+=4x0-4 有两个不同的根,即函数y
12、=ex+m与 y=4x-4 的图象有两个不同的交点.求出直线 y=4x-4 与曲线 y=ex+m相切时 m 的值,即可求出 m 的取值范围.令(ex+m)=ex+m=4,得 x=ln 4-m,则切点为(ln 4-m,4),代入切线方程 y=4x-4 得 4=4(ln 4-m)-4,解得 m=2ln 2-2,此时直线y=4x-4 与曲线 y=ex+m相切,将曲线 y=ex+2ln 2-2向右平移可满足与直线 y=4x-4 有两个不同的交点,所以 m2ln 2-2.故选C.高考帮 第 6 页 共 8 页 13.A 由题意,得 f(x)=memx-me-mx+2x-m,则切线 PA 的方程为 y-(
13、e1+e-1+12 mx1)=(me1 me-1+2x1-m)(x-x1),切线 PB 的方程为 y-(e-1+e1+12+mx1)=(me-1 me1 2x1-m)(x+x1),将(x0,y0)代入两条切线方程,得 0-(e1+e-1+12-1)=(e1-e-1+21-)(0-1),0-(e-1+e1+12+1)=(e-1-e1-21-)(0+1),-,得 2mx1=2(me1 me-1+2x1)x0+2mx1,即(me1 me-1+2x1)x0=0.因为对任意 mR,x1R,me1 me-1+2x1=0 不恒成立,所以 x0=0,故选 A.14.(1)f(x)=22+a2+=(+2)(-1
14、)2(0 x0,0 x0.当110,即 a(0,110时,f(x)0,则 f(x)在(0,10)上单调递减;当 0110,即 a(110,+)时,令 f(x)0,得 0 x0,得1x0,0 x10,因此分类讨论的标准是以1是否在定义域内进行制定的)综上,当 a(0,110时,f(x)在(0,10)上单调递减;当 a(110,+)时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,10)上单调递增.(2)x=1 是 f(x)的极值点,f(1)=0,即(a+2)(a-1)=0,解得 a=1 或 a=-2(舍),此时 f(x)=2+x+ln x,f(x)=22+1+1,切线 l1的方程为 y-(21+x1+
15、ln x1)=(212+11+1)(x-x1),令 x=0,得 b1=41+ln x1-1,同理可得 b2=42+ln x2-1.l1l2,212+11+1=222+12+1,整理得 x1x2=2(x1+x2),x2=211-2,b1-b2=42-4112+ln 12=2(2-1)1+2+ln 12=2(1-12)1+12+ln 12.又 0 x1x210,x1211-210,得52x10,g(t)在(14,1)上单调递增,又 g(1)=0,g(14)=65 2ln 2,g(t)(65 2ln 2,0),(换元以及构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域,从而求得 b1-b2
16、的取值范围)即 b1-b2的取值范围为(65 2ln 2,0).15.(1)由 f(2)=2=2得 a=1,则 f(x)=xcos x+(1-b)sin x,由 f(2)=1-b=0 得 b=1,所以 f(x)=xsin x+cos x.(2)令 g(x)=mx2+1-f(x)=mx2-xsin x-cos x+1,由 g(x)0 得 g(2)=42m0,所以 m0.易知 g(x)为偶函数,所以只需满足当 x0 时,g(x)0 即可.g(x)=2mx-xcos x=x(2m-cos x),下面只讨论 x0 时的情形.当 m12时,g(x)0,即 g(x)在0,+)上单调递增,所以 g(x)g(
17、0)=0,所以当 m12时,f(x)mx2+1 恒成立.当 0m12时,因为 y=2m-cos x 在0,2上单调递增,且当 x=0 时,y=2m-10,当 x=2时,y=2m0,所以存在 x0(0,2,使得 2m-cos x0=0,因此当 x(0,x0)时,g(x)0,即 g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当 x(0,x0)时,g(x)g(0)=0,与 g(x)0 矛盾.因此当 0m0,不符合题意.当 a0 时,函数(x)有零点等价于1=ex(1ln)有根.设 h(x)=ex(1ln),则 h(x)=ex(1ln)+ex(1-ln2)=e2(x-1)(x+1-ln x),设 s(x)=x+1-ln x,则 s(x)=11,当 x(0,1)时,s(x)0,s(x)单调递增,所以 s(x)s(1)=20,所以 h(x)=0 仅有一根 x=1,且当 x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以 h(x)h(1)=e.所以若函数(x)有零点,则1e,从而 0a1e.