1、课时规范练 24 平面向量的概念及线性运算 基础巩固组1.(多选)已知下列各式,其中结果为零向量的为()A.+B.+C.+D.+2.(多选)(2020 海南三亚华侨学校高三模拟)以下说法正确的是()A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量3.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=-6e1+2e2,其中 e1,e2不共线,则 a+b 与 c 的关系为()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定4.已知点 G 为ABC 的重心,若=a,=b,则=()A.23a+13bB.-23a+13bC.23a-13bD.-23a-13b
2、5.(2020 四川宜宾叙州区第一中学月考)在ABCD 中,若|+|=|+|,则必有()A.ABCD 为菱形B.ABCD 为矩形C.ABCD 为正方形 D.ABCD 为梯形6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|a|+|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列说法中,正确的个数有()单位向量都相等;模相等的两个平行向量是相等向量;若 a,b 满足|a|b|且 a 与 b 同向,则 ab;若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;若 ab,bc,则 ac.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个8.已知向量 e1与 e2不共线
3、,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若 A,B,C 三点共线,则实数 m,n 满足的条件是()A.mn=1B.mn=-1C.m+n=1D.m+n=-19.(2020 安徽合肥二中高三段考)已知 P 为ABC 所在平面内一点,+=0,|=|=|=2,则ABC 的面积等于()A.3B.23C.33D.4310.(多选)设 M 是ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若=12 +12 ,则 M 是边 BC 的中点B.若=2 ,则点 M 在边 BC 的延长线上C.若=-,则 M 是ABC 的重心D.若=x+y,且 x+y=12,则MBC 的面积是ABC 面积的1211.(2020 山东
4、德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+14b 与-a+b 平行.则实数=.12.(2020 浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设=a,=b,=2,M 为 BC 的中点,则=(用 a 和 b 表示);当 x=时,|b-xa|最小.综合提升组13.(2020 辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是()A.若 ab,bc,则 acB.若 2+3=0,SAOC,SABC分别表示AOC,ABC 的面积,则 SAOCSABC=16C.两个非零向量 a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则 a 与 b 共线且同向D.若 ab,则存在唯一实数 使得 a=b14.(2020 山东
5、潍坊一中高三模拟)已知非零向量 a,b 满足|a|=7+1,|b|=7-1,且|a-b|=4,则|a+b|=.15.A,B,C 是平面上不共线的三点,O 为ABC 所在平面内一点,D 是 AB 的中点,动点 P 满足=13(2-2)+(1+2)(R),则点 P 的轨迹一定过ABC 的 (内心、外心、垂心或重心).创新应用组16.(2020 山东青岛西海岸联盟校模考)在ABC 中,有如下结论:若 M 为ABC 的重心,则+=0.设 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 的对边,M 为ABC 的重心.若 a+b+33 =0,则内角 A 的大小为 ;当 a=3 时,ABC 的面积为 .17.
6、(2020 山东烟台栖霞一中段考)如图,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心在线段 CD(含端点)上运动,P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量=m+n(m,n 为实数),则 m+n 的最大值为 .参考答案 课时规范练 24 平面向量的概念及线性运算1.AD +=+=0,故 A 正确;+=,故 B 不正确;+=,故 C 不正确;+=0,故 D 正确.故选 AD.2.ABD 对于 A,根据零向量的性质,可知 A 正确;对于 B,由零向量的模是 0,单位向量的模是 1,可知 B 正确;对于 C,平行向量的方向相同或相反,故 C 不正确;对于 D,由平行向量的性质可
7、知,平行向量就是共线向量,故 D 正确.故选 ABD.3.B a+b=3e1-e2,c=-2(a+b),a+b 与 c 共线.故选 B.4.B 设 D 是 AC 中点,则=12(+),又 G 为ABC 的重心,=23 =23 12(+)=13(+)=13(-+)=-23 +13 =-23a+13b.故选 B.5.B +=,+=,又|+|=|+|,|=|,BD=AC,ABCD 为矩形.故选 B.6.A 当 a=2b 时,|a+b|=3|b|,|a|+|b|=3|b|,此时|a+b|a|+|b|成立.当|a+b|a|+|b|时,如 a=b 也满足条件,此时 a=2b 不成立.故“a=2b”是“|a
8、+b|a|+|b|”的充分不必要条件.故选 A.7.A 单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故错误;模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故错误;向量是有方向的量,不能比较大小,故错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故错误;当 b=0 时,ab,bc,则 a 与 c 不一定平行.综上,正确的说法个数有 0 个,故选 A.8.A 因为 A,B,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数,使得=,所以有 e1+me2=ne1+e2,由此可得1=,=,所以 mn=1.故选 A.9.B 由|=|得,PBC 是等腰三角形.取 BC 的中点 D,连接 PD,则
9、 PDBC.又+=0,所以=-(+)=-2,所以 PD=12AB=1,且 PDAB,故 ABBC,即ABC 是直角三角形.由|=2,|=1 可得|=3,则|=23,所以ABC 的面积为12 223=23.10.ACD 若=12 +12 ,则 M 是边 BC 的中点,故 A 正确;若=2 ,即有 =,即=,则点 M 在边 CB 的延长线上,故 B 错误;若=-,即+=0,则 M 是ABC 的重心,故 C 正确;若=x+y,且 x+y=12,可得 2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,则=2x+2y,2x+2y=1,可知 B,N,C 三点共线,由图可得 M 为 AN 的中点,则MBC的面积是AB
10、C 面积的12,故 D 正确.故选 ACD.11.-4 a,b 不平行,a+14 b 与-a+b 平行,存在实数,使 a+14 b=(-a+b),-=1,14 =,=-4.12.32a+12b-12M 为 BC 的中点,=12(+)=12 +12(+)=12a+12b+12 2a=32a+12b.如图,设=xa,则 b-xa=,当 EDAB 时,|b-xa|最小,此时由几何知识易得 x=-12.13.B A 错误,例如 b=0,推不出 ac;设 AC 的中点为 M,BC 的中点为 D,因为 2+3=0,所以 22+2=0,即 2=-,所以 O 是 MD 的三等分点,可知 O 到 AC 的距离等
11、于 D 到 AC 距离的13,而 B 到 AC 的距离等于 D 到 AC 距离的 2 倍,故可知 O 到 AC 的距离等于 B 到 AC 距离的16,根据三角形面积公式可知 B 正确;C 错误,两边平方可得-2ab=2|a|b|,所以 cos=-1,即夹角为,两向量反向,结论不正确;D 错误,例如 a=0,b=0,值不唯一.故选 B.14.4 如图,=a,=b,则=a-b.以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则=a+b.由于(7+1)2+(7-1)2=42,故|2+|2=|2.所以OAB 是以AOB 为直角的直角三角形,从而 OAOB,所以OACB 为矩形,根据矩形的对角线相等有|=
12、|=4,即|a+b|=4.15.重心 动点 P 满足=13(2-2)+(1+2)(R),且13(2-2)+13(1+2)=1,P,C,D 三点共线.又 D 是 AB 的中点,CD 为中线,点 P 的轨迹一定过ABC 的重心.16.6 934 由 a+b+33 =a+b+33 c(-)=a-33 c +b-33 c =0,且 与 不共线,a-33 c=b-33 c=0,a=b=33 c.在ABC 中,由余弦定理可求得 cosA=32,A=6.若 a=3,则 b=3,c=33,SABC=12bcsinA=12 333 12=934.17.5 如图所示,设点 O 为正六边形的中心,则=+.当动圆 Q 的圆心位于点 C 时,与边 BC 交于点 P1,P1为边 BC 的中点.连接 OP1,则1=+1.1 与 共线,存在实数 t,使得1=t,1=+t=(1+t)+(1-t),此时 m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.当动圆 Q 的圆心位于点 D 时,取 AD 的延长线与圆 Q 的交点为 P2,2=52 =52(+)=52 +52 ,此时 m+n=5,取得最大值.