1、理科数学试卷一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再求【详解】由已知得，所以，故选C【点睛】本题主要考查交集、补集运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案2.已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.3.在等差数列中，则A. 32B. 45C. 64D. 96【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质列方程，解方程求得的值
2、.【详解】根据等差数列的性质有，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查观察能力，属于基础题.4.若，则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指对函数的单调性即可比较大小.【详解】解：因为，所以，故选B【点睛】本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.5.在中，角的对边分别为.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，由正弦定理，所以，故选A6.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，所以.则，故选B.7.曲线y=x3+3x2在点（1，
3、2）处的切线方程为（ ）A. y=3x1B. y=3x+5C. y=3x+5D. y=2x【答案】A【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可解：y=x3+3x2y=3x2+6x，y|x=1=（3x2+6x）|x=1=3，曲线y=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y2=3（x1），即y=3x1，故选A点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题8.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后
4、求出它们的并集即可【详解】当时，的可变形为，当时，的可变形为，故答案为故选D【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解9.已知等差数列的前项为，且，则使得取最小值时的为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B考点：等差数列的性质.10.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头（最少一层）几盏灯？”（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D
5、【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果【详解】设塔顶的盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381= ，解得故选D【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用11.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三
6、棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.12.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（ ）A B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.【详解】因为导函数，所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，又，即，所以，所以. 故选D.【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.二、填空题（共4题；共20分）13.已知，则的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】直接利用基本不等式求解.【详解】由基本不等式得，当且仅当时取等.
7、所以的最小值为4.故答案为4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知x，y满足约束条件：，则的最大值是_.【答案】3【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，可求得点，.故答案为：3. 【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.15.记为等差数列的前项和，若，则_.【答案】100【解析】【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】得【点睛】本题考
8、点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键16.给出下列四个命题：中，是成立的充要条件； 当时，有；已知 是等差数列的前n项和，若，则；若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称其中所有正确命题的序号为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可判断；举反例即可判断；利用等差数列等差中项计算可判断；根据奇函数的性质与函数图象平移可判断.【详解】在ABC中，由正弦定理可得 , sinAsinBabAB，因此AB是sinAsinB充要条件，正确； 当1x0时，lnx0，所以不一定大于等于2，不成立；等差数列an的前n项和，若S7S5，则S7
9、-S5=a6+a70，S9-S3=a4+a5+a9=3（a6+a7）0，因此S9S3，正确；若函数为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x-）的图象向左平移个单位得到的，故函数y=f（x）的图象一定关于点F（-，0）成中心对称，不正确综上只有正确【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断，考查了正弦定理的应用，对数函数图象和性质，基本不等式，等差数列的性质，考查了函数的奇偶性和图象的平移， 考查了推理能力与计算能力，涉及知识点多且全，是此类题目的特点.三、解答题（共计70分）17.已知数列是等差数列，满足，数列是等比数列，满足.（1
10、）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（）2n，2n；（2）Sn【解析】【分析】(1)先求d,即得数列的通项，再求即得等比数列的通项.(2)利用分组求和求数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得， 所以 设等比数列的公比为，由题意得，解得 因为，所以 （2）【点睛】(1)本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
11、这叫分组求和法.18.已知向量 = (1，2sin)，= (sin(+)，1)，R(1) 若，求 tan的值；(2) 若，且 (0，)，求 的值【答案】（1）tan；（2）.【解析】【分析】（1）利用两个向量垂直的坐标表示，列出方程，化简可求得的值.（2）利用两个向量平行的坐标表示，列出方程，化简可求得的值.【详解】（1）依题意，得：0，即sin(+)+2sin0，展开，得：sincoscossin+2sin0，化简，得：sincos0，解得：tan（2）因为，所以，2sinsin(+)1，展开得：2sin（sincoscossin）1，即：2sin22sincos2，即：1cos2sin22
12、，化为：sin（2），因为 (0，)，所以，2 ()，所以，2，解得：【点睛】本小题主要考查两个向量垂直和两个向量平行的坐标表示，还考查了三角恒等变换，以及特殊角的三角函数值等知识，属于中档题.19.等差数列中，.(1)求通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【详解】(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)bn，所以Sn20.设函数（1）求函数的单调减区间；（2）若函数在区间上的极大值为8，求在区间上的最小值【答案】（1）减区间为（1，2）；（2）f(x)的最小值为-19【解析】【分析】（1）先求
13、出，由可得减区间；（2）根据极大值为8求得，然后再求出最小值【详解】（1）f（x）=6x2-6x12=6（x-2）（x+1），令，得1x2函数f（x）的减区间为（1，2）（2）由（1）知，f（x）=6x2-6x12=6（x+1）（x2），令f（x）=0，得x=-1或x=2（舍）当x在闭区间-2，3变化时，f（x），f（x）变化情况如下表x(-2,-1)-1(-1,2)2(2,3)f（x）+0-0+f（x）单调递增m+7单调递减m-20单调递增当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+7，由已知m+7=8，得m=1当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19又f(-2)=-3,所以f
14、(x)的最小值为-19【点睛】（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值21.已知函数，.（）若为偶函数，求的值并写出的增区间；（）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；（）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；增区间.(2) 的最小值为，取“”时.(3) .【解析】分析：（）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；（）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等
15、式即可得到答案.（）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数值.详解：解：（）为偶函数， ，即，解得. 所以，函数，对称轴，增区间（）由题知又，即的最小值为，取“”时（）时，在恒成立记，（）当时，由，当时，由，当时，由，综上所述，的取值范围是点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.22.证明不等式：（1）用分析法证明：.（2）已知a、b、c为不全相等的实数，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用分析法可知只需证，即证4240，从而证明不等式成立；（2）利用分析法可知要证，即证从而证明不等式成立【详解】证明：（1）要证，只需证，只需证，即证，而显然成立，故原不等式成立.（2）要证，只需证，即证，因为a，b，c是不全相等的实数，所以，所以显然成立.【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，属中档题