1、第七节抛物线1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，
2、yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF|x0x0y0y01(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.
3、D0B3抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2A4(2017西安质检)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B5(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9抛物线的定义及应用(1)(2014全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8(2)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_(1)A(2)21.凡
4、涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_抛物线的标准方程与几何性质(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是() 【导学号：31222323】Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x
5、236y(2)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B1C.D2(1)D(2)D1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程(1)(2017河南中原名校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为 ()Ay26xBy
6、28xCy216xDy2(2)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_(1)B(2)x2直线与抛物线的位置关系角度1直线与抛物线的交点问题(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，2分故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.5分(2)直
7、线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.12分1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断2(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度2与抛物线弦长或中点有关的问题(2
8、017泰安模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8. 【导学号：31222324】(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，2分(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.5分(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.6分由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由题意可知O
9、AOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.12分1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法3涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明
10、了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用3抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|x1x2p.1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式3抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动
11、点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切课时分层训练(五十一)抛物线A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2016四川高考)抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2)B(0,1)C(2,0)D(1,0)D2(2017云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A4B3C2D1B3抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C1D.B4已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22xBy22xCy
12、24xDy24xD5O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为() 【导学号：31222325】A2B2C2D4C二、填空题6(2017山西四校三联)过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_. 【导学号：31222326】87已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_8已知抛物线x2ay与直线y2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为_x23y三、解答题9抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物
13、线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程由题意，设抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦MN交y轴于A，则|MA|AN|，且AN.3分|ON|3，|OA|2，N(，2).6分N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.8分抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.10分抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.12分10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9. 【导学号：31222327】(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值(1)由题意得直线AB的方程
14、为y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.3分由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.5分(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4).8分设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42).10分又y8x3，所以28(41)，整理得(21)241，解得0或2.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A.B6C12D7C2已知抛物线
15、C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.216.因为(x12，y12)(x22，y22)4.所以40，则k24k40.因此得k2.3抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值 【导学号：31222328】(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2得m.所以直线AB的斜率是2.5分(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.8分因为2SAOB2|OF|y1y2| 4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.12分
