1、4.3 对数 目标导航1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.5.掌握换底公式及其推论.6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值 知识解读知识点一对数的概念1对数的定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做真数2常用对数与自然对数知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a0，且a1，则axNlogaN .(2)对数恒等式： ；logaax (a0，且a1，N0)知识点三对数的性质1loga1 (a0，
2、且a1)2logaa (a0，且a1)3零和负数 知识点四对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logalogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)知识点五换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)(2)logab(a0，且a1，b0)(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)跟踪训练一、单选题1下列运算中，正确的是（）ABCD2下列等式中，正确的是（）ABCD3已知,，则的值约为（精确
3、到）（）ABCD4某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（）ABCD5计算：（）A0B1C2D36牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度若，现有一杯80的热水降至75大约用时1分钟，那么水温从75降至55，大约还需要（参考数据：，）（）A3.5分钟B4.5分钟C5.5分钟D6.5分钟7已知，则（）ABCD8科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是1
4、2位数，则是（）（参考数据：）A4B5C6D7二、多选题9若，则（）ABCD10下列运算中正确的是（）ABCD11若，则（）ABCD12下列命题正确的是（）ABCD三、填空题13方程的解是_14若，则_.15若，且，则的值_16计算_四、解答题17化简求值：(1)；(2)18求值 19（1）已知，求的值；（2）化简并计算.20（1）已知，试用表示；（2）已知，试用表示4.3 对数 目标导航1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.5.掌握换底公式及其推论.6.能熟练运用对数的运算性质进
5、行化简求值 知识解读知识点一对数的概念1对数的定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做真数2常用对数与自然对数【答案】xlogaN 真数知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a0，且a1，则axNlogaN .(2)对数恒等式： ；logaax (a0，且a1，N0)【答案】x N x知识点三对数的性质1loga1 (a0，且a1)2logaa (a0，且a1)3零和负数 【答案】0 1 没有对数知识点四对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)log
6、alogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)知识点五换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)(2)logab(a0，且a1，b0)(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)跟踪训练一、单选题1下列运算中，正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.2下列等式中，正确的是（）ABCD【答案】D【分析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.【详
7、解】对于A，当为奇数时，当为偶数时，错误；对于B，错误；对于C，错误；对于D，正确.故选：D.3已知,，则的值约为（精确到）（）ABCD【答案】B【分析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.【详解】.故选：B4某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（）ABCD【答案】C【分析】由题意可得，然后利用换底公式化简可求得结果【详解】解：由题，即，由于且，即故选：C5计算：（）A0B1C2D3【答案】B【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：；故选：B6牛顿冷却定律描
8、述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度若，现有一杯80的热水降至75大约用时1分钟，那么水温从75降至55，大约还需要（参考数据：，）（）A3.5分钟B4.5分钟C5.5分钟D6.5分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，由一杯80的热水降至75大约用时1分钟，可得，所以，又水温从75降至55，所以，即，所以，所以，所以水温从75降至55，大约还需要分钟.故选：C.7已知，则（）ABCD【答案】C【分析】由换底公式和对数运算法则进行化
9、简计算.【详解】由换底公式得：，其中，故故选：C8科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是12位数，则是（）（参考数据：）A4B5C6D7【答案】B【分析】根据题意得，进而结合题意得，再根据得，进而得.【详解】解:由题意可设，因为正整数的16次方是12位数，所以，所以，因为，所以，所以，则，又.78，所以.故选：B二、多选题9若，则（）ABCD【答案】AD【分析】根据对数的运算性质逐一运算即可得出答案.【详解】解：对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，故D正确.故选：AD.10下列运算中正确的是（）ABCD
10、【答案】BD【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.【详解】因为，所以A错误；因为，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以D正确.故选：BD.11若，则（）ABCD【答案】ACD【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.【详解】由题设，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD12下列命题正确的是（）ABCD【答案】BCD【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D.【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误；对于选项B，当时，成立，选项B正确；对于选项C，选项C
11、正确；对于选项D，选项D正确故选：BCD.三、填空题13方程的解是_【答案】【分析】根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.【详解】由对数的运算性质，可得，可得，解得故答案为：.14若，则_.【答案】【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为，所以，即，即，所以；故答案为：15若，且，则的值_【答案】【分析】由题意可得，然后对化简计算即可【详解】，且，故答案为：016计算_【答案】【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】.故答案为：四、解答题17化简求值：(1)；(2)【答案】(1)3；(2)0【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可得出答案；（2）根据指数的运算性质计算即可得解.【详解】(1)解：；(2)解：.18求值 【答案】0【分析】根据对数的运算法则直接计算可得.【详解】原式.19（1）已知，求的值；（2）化简并计算.【答案】（1）11；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据指数幂，对数的运算性质即可求解.【详解】解：（1），.（2）原式.20（1）已知，试用表示；（2）已知，试用表示【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.【详解】（1），；（2），
