1、第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程3双曲线3.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升1.已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是() A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支答案A解析因为|PM|-|PN|=6=|MN|,故动点P的轨迹是一条射线,其方程为y=0(x3),故选A.2.椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点,则实数n的值是()A.5B.3C.5D.9答案B解析由题意知,34-n2=n2+16,2n2=18,n2=9,n=3.3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为,动点P的轨迹方程为()A.+y2=1B.-
2、y2=1C.+y2=1(x2)D.-y2=1(x2)答案D解析依题意有kPAkPB=,即(x2),整理得-y2=1(x2).4.设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|PF2|=13,则F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12答案A解析由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|PF2|=13,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为22.5.已知双曲线-y2=1(a0)的右焦点在直线x+2y-3=0上,则实数a的值为()A.1B.C.2D.2答案D解析因为直线x+2y-3=0与x轴的交点为(3,0),所以在双曲线-y2=1(a
3、0)中有c2=a2+1=9,故a2=8,即a=2,故选D.6.已知(2,0)是双曲线x2-=1(b0)的一个焦点,则b=.答案解析由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b0,所以b=.7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是.答案=1解析设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,b0).由=0,得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a.两边平方并代入|PF1|PF2|=2,得20-22=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双
4、曲线方程为-y2=1.9.双曲线C与椭圆=1有相同焦点,且经过点(,4).(1)求双曲线C的方程;(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=120,求F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为=1,则a2+b2=32=9.又双曲线经过点(,4),所以=1,解得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线C的方程为=1.(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.在F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos 120=m2+n2+mn=36.由得mn=,所以F1PF2的面积为S=mnsin 120=.10.设双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.解法一设双曲线的标准方程为=1(a0,b0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为,于是有解得所以双曲线的标准方程为=1.解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),所以2a=|=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为=1.
