1、黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二数学10月月考试题 理试卷说明：满分 150分 时间 120分钟一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知若，则（ ）A4B3CD2在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A2B3C4D3已知，且，则的最小值为（ ）A8B9C6D74如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（ ）A三棱锥B四棱锥C三棱台D四棱台5设m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列说法错误的是（ ）A若，则；B若，则；C若，则；D若，则6在我国古代著名的数学专著 九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良
2、马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢? （ ）A16 日B12 日C9 日D8 日7给出下列命题：有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱；有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥；有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台. 其中正确的命题是（ ）ABCD8已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若为底面的中心，则PA与平面
3、所成角的大小为（ ）ABCD9鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A B C D10如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D 11如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）ABCD12.如图，在长方体中，E、F分别为棱、的中点.
4、动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为( ). 二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知直线l的斜率为2，且经过点，则直线l的一般式方程为_14圆的圆心到直线的距离为1，则_15已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为，则圆柱的侧面积为_16如图，矩形中，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是 （把正确的序号写在横线上）（1）存在某个位置，使（2）存在点，使得平面成立（3）存在点，使得平面成立（4）四棱锥体积最大值为三、解答题：（共6小题，17题10分，1822题每小题12分，满分70分
5、）17（10分）已知圆C过三点，.求圆C的方程；18（12分）已知，.（1）求与的夹角；（2）求19（12分）在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角C的大小（2）若，的面积为，求的周长20（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.（1）若为边的中点，求证：平面.（2）求证：.（3）若为边的中点，能否在上找出一点，使平面 平面？21（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围.22（12分）在四棱锥中，平面，是的中点，在线段上，且满足.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（
6、3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.哈师大青冈实验中学2020-2021学年度10月份考试高二学年数学（理）试题答案1-12 DCBBCC BBABDA13. 14. 15. 16.（3） （4）17.（10分）解：因为圆过点，故圆心在上，设圆心坐标，则，解得.故其半径.故圆方程为：18.（12分）解：（1），向量与的夹角.（2），.19.（12分）解：（）由正弦定理，得，在中，因为，所以故，又因为0C，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，从而.即 又，所以的周长为.20. （12分）证明：连接，因为是等边三角
7、形，为边的中点，所以因为平面平面，所以平面，所以因为四边形是菱形，所以又因为，所以是等边三角形，所以又因为，所以平（2） 证明：因为，所以平面又因为 平面，所以（3） 存在点，且为的中点证明如下：连接交于，连接，因为且，又，分别是，的中点，连接，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又因为，所以由（1）知平面，所以平面又 平面，所以平面平面21.（12分）解：（1）当时，所以，当时， ， ，由得，所以，当时也符合此式，综上可知.（2）因为，所以，所以 ， ，由得：所以，又因为，所以的最小值为，所以，所以，即实数的取值范围是.22.（12分）解：（1）证明：取的中点，的中点，连接和，且，分别为，的中点.且且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（1）由题意可得，两两互相垂直，如果，以为原点，分别是，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，令又，平面 平面（2）设点坐标为则，由得，设平面的法向量为，由得即令，则，故二面角的余弦值为（3）设， 与平面所成角的余弦值是其正弦值为，整理得：，解得：，（舍）存在满足条件的点，且