1、综合测评(满分:150 分;时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(12-)(-13)0 的解集为()A.|13 12 C.|13 D.|12 2.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1,b=3,则 c=()A.1 或 2 B.2 C.2 D.1 3.设全集 U=R,A=x|2(x-1)2-log2(x2+2),则图中阴影部分表示的集合为()A.x|1x2 B.x|x1 C.x|0 x1 D.x|x1 4.不等式3-12-1 的解集是()A.|34 2
2、 B.|34 2 D.x|x2 5.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,S6=-5S30,则93=()A.18 B.13 C.-13 D.-18 6.在ABC 中,已知 A,a,b,给出下列说法:若 A90,则此三角形最多有一解;若 A90,且 a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且 B=90;若 A90,且 bsinAab,则此三角形有两解.其中正确说法的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 7.设 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k 的值为()A.8 B.7 C.6 D.5 8.若变量 x,y 满足约束条件 +8,2-4,0,
3、0,且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是()A.48 B.30 C.24 D.16 9.设an是等比数列,公比 q=2,Sn为an的前 n 项和,记 Tn=17-2+1(nN+),设0为数列Tn的最大项,则n0=()A.2 B.3 C.4 D.5 10.在等比数列an中,已知 a2=1,则其前三项和 S3的取值范围是()A.(-,-1 B.(-,01,+)C.3,+)D.(-,-13,+)11.在ABC 中,若 asinA+bsinB-csinC=0,则圆 O:x2+y2=1 与直线 l:ax+by+c=0 的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
4、 12.在数列an中,a1=1,an+1=an+n+1,设数列1的前 n 项和为 Sn,若 Sn0)的最小值为 .三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c.(1)求角 A 的大小;(2)若 b=2ccosA,试判断ABC 的形状.18.(本小题满分 12 分)已知等差数列an的公差为 d,且关于 x 的不等式 a1x2-dx-3c.已知 =2,cosB=13,b=3.求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C
5、)的值.20.(本小题满分 12 分)设数列an的各项都是正数,且对于任意 nN+,都有13+23+33+3=2,其中 Sn为数列an的前 n 项和.(1)求 a2;(2)求数列an的通项公式.21.(本小题满分 12 分)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f(n)(万元)表示前 n 年的纯利润总和(nN+,f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年起开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:方案年平均纯利润达到最大
6、时,以 48 万元出售该厂;方案纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂.问哪种方案更划算?22.(本小题满分 12 分)已知点(x,y)是平面区域+2 2,0,0(nN+)内的点,目标函数 z=x+y,z 的最大值记作 zn.若数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线 zn=x+y 上.(1)证明:数列an-2为等比数列;(2)求数列Sn的前 n 项和 Tn.答案全解全析 全书综合测评 一、选择题 1.A(12-)(-13)0,(-12)(-13)0,解得13x0 的解集为|13 12,故选 A.2.B B=2A,a=1,b=3,由正弦定理得1sin=3sin=
7、3sin2=32sincos,cosA=32,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,即 1=3+c2-3c,解得 c=2 或 c=1(不符合题意,舍去),c=2,故选 B.3.A 由 2(x-1)22,得(x-1)21,解得 0 x2,A=x|0 x-log2(x2+2),得 log2(x2+x+1)0,2+2 0,2+1 2+2,解得 x1,B=x|x1.UB=x|x1.阴影部分表示的集合为(UB)A=x|1x2.4.B 由3-12-1 可得3-12-10,所以3-1-(2-)2-0,即4-32-0,所以4-3-2 0,所以(4-3)(-2)0,-2 0,解得34x2.故选 B.5
8、.D 设 S3=a(a0),则 S6=-5a,an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即 a,-6a,S9-S6成等差数列,S9-S6=-13a,即 S9=-18a,93=-18.6.C 由 A90,知 B 为锐角,则此三角形最多有一解,故说法正确;若 A90,且 a=bsinA,则 sinB=1,即B=90,此三角形为直角三角形,故说法正确;当 A0 时,S31+2111=3,当且仅当 a1=1 时取等号;当 a10 时,S31-2(-1)1-1=1-2=-1,当且仅当 a1=-1 时取等号.故 S3的取值范围是(-,-13,+).11.A 因为 asinA+bsinB-cs
9、inC=0,所以 a2+b2-c2=0,又因为圆心 O(0,0)到直线 l:ax+by+c=0 的距离为|2+2=1,所以圆 O:x2+y2=1 与直线 l:ax+by+c=0 相切,故选 A.12.D 由题可得 an+1-an=n+1,则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n-1+1)+(n-2+1)+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+2+1=(+1)2,当 n=1 时,也满足上式,an=(+1)2,1=2(+1)=2(1-1+1),Sn=2(1-12+12-13+1-1+1)=2(1-1+1).Snm 对一切正整数 n 恒成立,m2,故选
10、D.二、填空题 13.答案 5 解析 由题可得 a5-a6=4S4-4S5=-4a5,a6=5a5,q=5.14.答案 3akm 解析 由题意知,ACB=120,由余弦定理得 AB2=3a2+3a2-23a3acos120=9a2,AB=3akm.15.答案 3 解析 因为 a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得 cosA=2+2-22=2=12,又 0A0,所以 x+11,所以 y2(+1)9+1+10=16
11、,当且仅当 x+1=9+1,即 x=2(负值舍去)时,等号成立,所以函数 y=(+2)(+10)+(x0)的最小值为 16.三、解答题 17.解析(1)2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,bc=b2+c2-a2,(2 分)cosA=2+2-22=12,(3 分)A=60.(5 分)(2)由正弦定理及已知,得 sinB=2sinCcosA,(6 分)又 B=-(A+C),sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即 sinAcosC-cosAsinC=0,sin(A-C)=0,A=C,(8 分)A=B=C=60,ABC 为等边三角形.(10 分)18.解析(1
12、)由题意,得1=2,-31=-3,解得=2,1=1.(4 分)故数列an的通项公式为 an=1+2(n-1)=2n-1.(6 分)(2)由(1)知 an=2n-1,所以 bn=122+2=12(+1)-(+1)=12(1-1+1),(8 分)所以 Sn=12(1-12)+(12-13)+(1-1+1)=12(1-1+1)=2(+1).(12 分)19.解析(1)由 =2 得 cacosB=2,又 cosB=13,所以 ac=6.(2 分)由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accosB,又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13.(3 分)联立=6,2+2=13,解得=2,=3 或=3,=2
13、.(5 分)因为 ac,所以 a=3,c=2.(6 分)(2)在ABC 中,sinB=1-cos2=1-(13)2=223.(7 分)由正弦定理,得 sinC=sinB=23223=429.(8 分)因为 a=bc,所以 C 为锐角,因此 cosC=1-sin2=1-(429)2=79,(10 分)所以 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=1379+223 429=2327.(12 分)20.解析(1)在已知式中,当 n=1 时,13=12,a10,a1=1;当 n2 时,13+23+33+3=2,13+23+33+-13=-12,(3 分)-得3=an(2a1+2a2+2a
14、n-1+an),an0,2=2a1+2a2+2an-1+an,即2=2Sn-an,当 n=1 时,也满足此式.22=2(1+a2)-a2,解得 a2=-1 或 a2=2,an0,a2=2.(6 分)(2)由(1)知2=2Sn-an(nN+),当 n2 时,-12=2Sn-1-an-1,-得2-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1.(8 分)an+an-10,an-an-1=1,数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列,可得 an=n.(12 分)21.解析(1)由题意知 f(n)=50n-12+(-1)2 4-72=-2n2+40n-72,(2
15、 分)由 f(n)0,得-2n2+40n-720,解得 2n18,由 nN+知,该厂从第三年起开始盈利.(4 分)(2)方案:年平均纯利润为()=40-2(+36)40-2236=40-2236=16,当且仅当 n=36,即 n=6 时,等号成立.故方案共获利 616+48=144(万元),此时 n=6.(7 分)方案:由(1)得 f(n)=-2(n-10)2+128,所以当 n=10 时,f(n)max=128.故方案共获利 128+16=144(万元),此时n=10.(10 分)比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第种方案只需 6 年,而第种方案需 10 年,因此选择第种方案更划算
16、.(12 分)22.解析(1)证明:由已知得,当直线 y=-x+z 过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故 zn=2n,方程为 x+y=2n.(2 分)(Sn,an)在直线 zn=x+y 上,Sn+an=2n,Sn-1+an-1=2(n-1),n2,由-得,2an-an-1=2,n2,an-1=2an-2,n2.(4 分)又-2-1-2=-22-2-2=-22(-2)=12,n2,a1-2=-1,数列an-2是以-1 为首项,12为公比的等比数列.(6 分)(2)由(1)得 an-2=-(12)-1,an=2-(12)-1.(8 分)Sn+an=2n,Sn=2n-an=2n-2+(12)-1,(10 分)Tn=0+(12)0+2+(12)1+2-2+(12)-1=0+2+(2n-2)+(12)0+(12)1+(12)-1=(2-2)2+1-(12)1-12=n2-n+2-(12)-1.(12 分)