1、微专题38形如f(x)exg(x)型的函数问题1.若函数f(x)exax在(1，)上有最小值，则实数a的取值范围是_2已知函数f(x)(ax1)ex的单调增区间为(2，)，则实数a的值为_3方程|ex1|ax10有两个不同的解，则实数a的取值范围是_4(2017全国卷改编)若x3是函数f(x)ex的极值点，f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)的极小值为_5已知函数f(x)exax1(aR，a为常数)，若对所有x0都有f(x)f(x)，则a的取值范围是_6(2018苏州三模)如果函数yf(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi2|f(xi)1(i1，2，3)，则称函数
2、f(x)具有性质.已知函数f(x)aex具有性质，则实数a的取值范围为_7.已知函数f(x)(x2axa1)ex(a为常数，e是自然对数的底数)有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)若a0且mx1ex2f(x2)0恒成立，求实数m的取值范围8已知函数f(x)(x1)exx2，其中aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a的值，若不能，请说明理由；(3)若对于任意x1R，x2(0，)，不等式f(x1x2)f(x1x2)2x2恒成立，求最大的整数a.微专题381答案：(e，)解析：f(x)exa，令f(x)0，则xln
3、a，当xlna时f(x)0，当xlna时f(x)0，因为函数f(x)exax在(1，)上有最小值，所以lna1，解得ae.2答案：1.解析：f(x)aex(ax1)ex(axa1)ex0，axa10，由题意可知，a1.3答案：(，e)解析：化为|ex1|1ax，令f(x)|ex1|1作出图像可知，yax与f(x)应在x0上有两个不同的交点，考虑相切时，设切点P(x0，y0)，则所以x01，此时P(1，e)，所以ae，得ae.4答案：1.解析：f(x)(2xa)exexex，因为f(3)0，所以a1，所以f(x)(x23x)ex，所以f(x)在(，3)和(0，)上单调递增，在(3，0)上单调递减
4、，所以f(x)的极小值为f(0)1.5答案：1，)解析：当x0时，f(x)f(x)恒成立，即exaxexax恒成立，即exex2ax0恒成立，令h(x)exex2ax(x0)，则h(x)exex2a22a22a，当且仅当x0时等号成立当a1时，h(x)0，所以h(x)在0，)上是增函数，故h(x)h(0)0恒成立；当a1时，方程h(x)0的正根为x1ln(a)m，当x(0，x1)时，则h(x)0，故h(x)在(0，x1)上为减函数，h(x)h(0)0，不合题意综上所述，满足条件的a的取值范围是1，)6答案：.解析：由题意|x2|f(x)1有三个根，即a|x2|有三个根；设f(x)a|x2|，g
5、(x)，由图象可知a0不合题意，即有a0；设yk(x2)与函数g(x)图象切于点(x0，y0)，则kex0，y0k(x02)ex0ex0(x02)，解得x01，k；因此，当x2时，f(x)a(x2)的斜率a，即a.综上可知，实数a的范围是.7答案：(1)(，0)(4，)；(2)2，)解析：(1)f(x)x2(2a)x1ex，因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，所以f(x)x2(2a)x1ex0有两个不等的实数解，即一元二次方程x2(2a)x10有两个不等的实数解，所以(2a)240，解得a0或a4，故实数a的取值范围为(，0)(4，)(2)因为a0，由(1)知，a4.因为函数f(x)有两个
6、极值点x1，x2(x1x2)，所以x1，x2是方程x2(2a)x10的两个不等的实数解，所以x1x2a20，x1x21.x1，x2均为正数由题意mx1ex2f(x2)0恒成立，问题等价于m恒成立，即m恒成立令y，则yx222x21，因为x1x2a2422，x1x21，所以x21，所以yx222x21(x21)222，所以m2，即实数m的取值范围是2，)8答案：(1)当a0时，函数f(x)减区间为(，0)，增区间为(0，)；当a1时，函数f(x)在R上是增函数；当0a1时，函数f(x)在(，lna)，(0，)上是增函数，在(lna，0)上是减函数；当a1时，函数f(x)在(，0)，(lna，)上
7、是增函数，在(0，lna)上是减函数(2)不存在；(3)3.解析：(1)f(x)xexaxx(exa)当a0时，exa0，由f(x)0得x0，x(，0)，f(x)0，x(0，)，f(x)0.当a0时，由f(x)0得x1或lna.若a1，则f(x)0，若0a1，则lna0，所以x(，lna)，f(x)0，x(lna，0)，f(x)0，x(0，)，f(x)0.若a1，则lna0，所以x(，0)，f(x)0，x(0，lna)，f(x)0，x(lna，)，f(x)0.综上，当a0时，函数f(x)减区间为(，0)，增区间为(0，)；当a1时，函数f(x)在R上是增函数；当0a1时，函数f(x)在(，ln
8、a)，(0，)上是增函数，在(lna，0)上是减函数；当a1时，函数f(x)在(，0)，(lna，)上是增函数，在(0，lna)上是减函数(2)由于f(x)xexax，假设函数f(x)的图象与x轴相切于点(t，0)，则有即显然t0，ea0代入方程(t1)et20中得，t22t20.因为40，所以无解故无论a取何值，函数f(x)的图象都不能与x轴相切(3)依题意，f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)，即f(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)恒成立设g(x)f(x)x，则上式等价于g(x1x2)g(x1x2)，对任意x1R，x2(0，)恒成立，即只需g(x)(x1)exx2x在R上单调递增，所以g(x)xexax10在R上恒成立则g(1)ea10，ae1，所以g(x)0在R上恒成立的必要条件是ae1.下面证明：当a3时，xex3x10恒成立设h(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，所以h(x)minh(0)0，即xR，exx1.那么，当x0时，xexx2x，xex3x1x22x1(x1)20；当x0时，ex1，xex3x1x0.所以xex3x10恒成立因此，a的最大整数值为3.
