1、2019-2020学年陕西省安康市高三第二学期第三次联考数学试卷(理科)一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合A，B，由此能求出.【详解】 集合，所以.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 若复数与其共轭复数满足，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设，则,求得，再求模，得到答案.【详解】设，则，故，.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，两复数相等的条件，复数的模，还考查了学生的计算能力，属于容易题.3. 已知且，函数，若，则（ ）A. 2B. C. D. 【
2、答案】C【解析】【分析】先根据求得a，进而求得结论.【详解】当时，解得，不合题意；当时，解得，所以.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数求自变量、求函数值，属于基础题.4. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：，得解【详解】由图可知：黑色
3、部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得：，故选B【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，熟记公式即可，属于常考题型5. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象.由，得，当时，所得图象的一条对称轴方程为，故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换
4、，考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.6. 已知，是两个不重合的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用线面的位置关系即可判断出结论.【详解】如图，直线，直线，此时与异面，故充分性不成立，如图，直线，直线，若，则，因为，过做一平面，且，则，所以，所以，故必要性成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查线面关系的判断，属于基础题.7. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点若，则线段AB的中点到y轴的距离为（
5、 ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.【详解】解：设，则线段AB的中点到y轴的距离为：，根据抛物线的定义：，整理得：，故线段AB的中点到y轴的距离为：，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.8. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用二倍角公式求得，再利用诱导公式进行化简三角函数式，得到结果.【详解】解：，平方求得，则，故选：D.【点睛】本题考查和的正弦公式，考查二倍角公式，考查诱导公式，属于基础题.9. 梯形中，若，则（ ）A. 12B. 16C. 20D.
6、24【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，可得，.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属于基础题.10. 某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）A 480种B. 360种C. 240种D. 120种【答案】B【解析】【分析】将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.
7、【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，共有360种.故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.11. 已知函数，若，且，给出下列结论：，其中所有正确命题的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，利用二次函数图象的对称性可判断的正误；由图象得出，结合对数的运算性质可判断的正误；推导出，利用双勾函数的单调性可判断的正误；推导出，利用二次函数的基本性质可判断的正误.综合可得出结论.【详解】函数的图象如下图所示，函数的图象关于直线对称，则，错误；由图象可知，且，即，所以，正确；当时，由图象
8、可知，则，可得，正确；由图象可知，正确.故选：D.【点睛】本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12. 设PABCD是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（ ）A. B. 18C. 20D. 【答案】D【解析】【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值.【详解】设球的半径为r，则，即.设球心到四棱锥的底面距离为x，则正方形的对角线长为，则正方形的边长为，则四棱锥的底面积为，当棱锥的高为时，四
9、棱锥的体积最大，则四棱锥的体积，由得，由得，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值为.故选：D.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.二填空题13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据图形找到最优解，即可解得结果.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线经过点时，.故答案为：.【点睛】本题考查了利用线性规划求最值，属于基础题.14. 已知，分别为内角，的对边，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得
10、结果.【详解】解：由于，由余弦定理得，解得，的面积.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.15. 已知是定义在上的奇函数，当时，(a为常数)，则曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得，求得，再求时，的解析式，注意运用，求得时，的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程.【详解】解：由是定义在R上的奇函数，可得，当时，当，即有，则导数为，又切点为，切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查根据奇偶性求解析式，考查利用导数求切线方程，属于中档题.16. 已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点
11、，为坐标原点，若，则的离心率为_.【答案】【解析】【分析】作出图象，取中点E，连接，设，根据双曲线定义可得，再由勾股定理可得到，进而得到e的值.【详解】解：取中点E，连接，则由已知可得，设，则由双曲线定义可得，即，在中， 由勾股定理可得，则. 故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的定义，考查了基本运算能力，属于基础题.三解答题17. 已知数列，满足，且为等比数列，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求当时，正整数n的最小值.【答案】（1），；（2）6.【解析】【分析】（1）由，可得由，可得.根据等比数列可得通项公式可得公比q，及其，进而得出.（2）由（1
12、）利用求和公式可得，将化为可得结论.【详解】（1），.，.，解得，所以，.（2）由（1）知，所以，可化，解得，正整数n的最小值为6.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，考查了等差数列和等比数列的前项和公式，属于基础题.18. 某中学在10月1日举行国庆歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元，40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望【答案】（1）众数为，平均数为；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据众数定义和中
13、位数的计算方法可得结果.（2）可取，算出取各值时对应的概率，得到的分布列后可得其期望.【详解】（1）由茎叶图可得众数为，平均数为.（2）可能的取值为，又，故的分布列为：故.【点睛】本题考查茎叶图的应用、众数与中位数的计算，还考查了离散型随机变量的分布列及数学期望，注意计算分布列时要借助排列组合的方法，本题属于基础题.19. 如图，几何体中，正方形所在平面与梯形所在平面互相垂直，H为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证，再根据面面垂直的性质定理可得，进而得到平面，再证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面
14、的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解.【详解】（1）证明：由已知得，平面，则，平面，平面，平面平面；（2）以D为原点，DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，,，,，设平面的法向量为，则,即，令，则，即，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，由图可知二面角为钝角，所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查面面角的向量求法，属于中档题.20. 已知椭圆E：()的左焦点为，过F的直线交E于A、C两点，的中点坐标为.（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线和相交且交E于B、D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，分别代
15、入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标.设，且直线的斜率存在，设方程为()，联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则，(，分别表示B，D到直线的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法基本不等式可得所求最大值.【详解】解：（1）设，可得，两式相减得，将，代入上式，即，又，即有，则椭圆E的方程为；（2）直线AC的方程为，联立，解得或，设，且直线的斜率存在，设方程为()，联立，得，则， 设，分别表示B，D到直线的距离，所以，令，则，故，当且仅当，即，
16、时，四边形的面积取得最大值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.21. 已知函数，为函数的导数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得，令，通过求导可证明在上递增，而，只需证明即可;（2）由（1）可知，在上存在唯一零点，设，则，则可知在递减，在上递增，所以，再结合求解的值.【详解】（1），令，则所以在上单调递增，又，令，.则在上单调递减，故.，函数在上存在唯一的零点. （2）由（1）可知存在唯一的零点，使得，即.函数在上单调递增，当时，单调递减，当时，
17、单调递增.，显然是方程的解.是单调递减函数，方程有且仅有唯一解，把代入得得，.【点睛】本题考查导数与函数零点问题，考查导数与函数最值的求解问题，难度较大.解答时，证明递增且有唯一的零点是关键，然后利用零点表示函数的单调区间，从而得到最值.22. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出.【
18、详解】解：（1）由于的极坐标方程为，根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为：当时，当时，则曲线与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，围成图形的面积.（2）由得，其直角坐标为，化直角坐标方程为，化直角坐标方程为，.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值可解得结果；（2）原不等式等价为，根据绝对值三角不等式，可得其最小值，解一元二次不等式可得a的取值范围.【详解】（1）当时，等价为或或，解得或或，即，所以不等式的解集为；（2）由，可得，因为不等式的解集非空，所以，解得.则a的取值范围是.【点睛】本题考查了分类讨论法解含绝对值的不等式，考查了绝对值三角不等式，考查了不等式有解问题，属于中档题.
