在物理考试中的数学应用.doc

1、物理考试中的数学应用升入高中之后，很多学生会发现，物理的解题比初中难了不是一个等级，这除了知识内容难度的提升之外，还体现在应用数学工具来解决物理问题的要求越来越高。在初中阶段，学生可能只是用到加、减、乘、除这些简单的运算来解决物理问题，到了高中，就可能用到函数、图像等工具，也难免涉及到数形结合思想、分类讨论等数学思想。在考试说明中，也对学生如何应用数学知识处理物理问题提出了要求：能够根据具体问题罗列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形函数图象进行表达、分析。在物理的考试中，命题老师比较常用的考察点无外乎下面几个：（1） 几何图形的处理（2） 二次函

2、数求极值问题（3） 数形结合（4） 数学递推归纳下面，我们将对这几个类型的考察模型做个简单的归纳介绍。一、 几何图形的处理 在考试中，涉及到几何图形的题目一般有两种。物理学中很多物理量是矢量，有大小、有方向，这就意味着这些物理量的合成不能用简单的加减乘除来解决，而需要用到平行四边形法则。在考试中，力的合成与分解出现频率较高，速度、加速度的合成偶尔也会出现。另外，物体的运动轨迹也可能需要用到几何图形的处理。例如带电粒子在磁场中的运动。高中物理在几何图形的处理中考察的知识点主要有下面几个：（1）、点到直线的最短距离。这种题目一般结合力的合成来考察。例1.将一个大小为F的力分解为两个分力，其中一个分

3、力F1的方向跟F成600角，当另一个分力F2有最小值时，F1的大小为 ，F2的大小为 .（2）、相似三角形。通常也是结合力的合成来考察。例2.如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO90。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）分析：若选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和大球支持力FN 的作用。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN 相似，根据相似三角形对应边成比例得F/L=G/(

4、d+R)=FN/R解得 F=GL/(d+R) FN=GR/(d+R) （3）、三角函数。经常在正交分解中考察，要求学生记住几个常见的三角函数值。例3.如图所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则小车运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？分析：设圆弧半径为R，滑块运动到半径与竖直方向成角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 由两式联立可得滑块对小车的压力 而压力的水平分量为 设地面对小车的静摩擦力为f，根据平衡条件，其大小 从f的表达式可以看出，当=45

5、0时，sin2=1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 （4）、圆。通常在带电粒子在磁场中的运动中考察。例4:.如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为 。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。分析：粒子在磁场中做圆周运动。设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得式中v为粒子在a点的速度

6、。过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点。由几何关系知，线段和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）围成一正方形。因此设有几何关系得 联立式得 再考虑粒子在电场中的运动。设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动。设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得qE=ma 粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，有运动学公式得 r=vt 式中t是粒子在电场中运动的时间。联立式得（5）对物理情景中的几何分析当然，题目中还可能会告诉学生物体的运动轨迹，这个轨迹不是一个单纯的圆、直线、可能是各种特殊情况的组合，就要求学生通过物理情景和几何分析判断半径的大小、下落的

7、高度等等。二、 二次函数求极值问题描述某一过程或某一状态的物理量， 在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值便可能涉及到要求物理量的极值。物体中会出现求极值的问题，物理考试中最常见的是用二次函数求极值。这种题型在力学和电磁学中均有涉及。例5：图所示，一个阻值为5的电灯与一最大阻值为10的滑动变阻器串联后接到电压为2V的电源上(电源内阻不计)。求：当滑动变阻器接入电路的阻值是多大时，滑动变阻器消耗的功率为最大，其值是多少? 分析：设滑动变阻器消耗的功率为P，连入电路的电阻值为R，则消耗的功率为： PI2RE/(R0+R)2/R

8、2/(5+R)2/R 整理得到一个关于R的一元二次方程： PR2+(10P一4)R+25P0 由于R为实数，所以上述方程中0，即 (10P一4)2-4P25P 16-80P0 解得P0.2W，故消耗的最大功率为0.2 W，此时滑动变阻器连入电路的电阻为5。 三、 数形结合 数形结合的思想，就是把物体的空间形式和数量关系结合起来进行考察，通过数与形之间的对应和转化来解决问题的思想。其实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来。一方面，可以“以形助数”，从“形”人手，通过对图形的观察处理，实现抽象概念与具体形象的联系与转化，化抽象为直观，化难为易；另一方面，

9、“以数解形”，可以由“数”人手，将有些涉及图形的问题转化为数量关系来研究，对图形作精细的分析，从而使人们对直观图形有更精确、理性的理解。 常见的数形结合的题目有下面几种：（1）直线型：如v-t图、U-I图（2）正弦曲线：如交变电流 需要注意的是：数形结合要求学生对图形中的点、线、斜率、面积、截距的意义有详细的了解。值得一提的是，数形结合越来越常出现在实验题中，要求学生通过描点、画图探究实验规律。四、 数学递推归纳数学归纳分为完全归纳和不完全归纳,物理中常常用到不完全归纳,合理地运用数学归纳法对我们解决一些物理问题有很大帮助。运用数学归纳法的前提条件是物理的运动规律要有反复性和相似性。物理中常用

10、到不完全归纳法去处理。考试中最常见的就是碰撞类的题目。例6如图所示，一质量m1 kg的木板静止在光滑水平地面上开始时，木板右端与墙相距L0.08 m，一质量m1 kg的小物块以初速度v02 m/s滑上木板左端木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触物块与木板之间的动摩擦因数0.1，木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹取g10 m/s2，求：(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数 及所用的时间 (2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离分析：物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板从静止开始做匀加速运动设木板的加速度大小为a，经历时间T后与墙第一次碰撞，碰撞时的速度为

11、v1，则有：mgmaLaT2v1aT可得：a1 m/s2，T0.4 s，v10.4 m/s物块与木板达到共同速度之前，在每两次碰撞之间，木板受到物块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间为T设在物块与木板达到共同速度v之前木板共经历了n次碰撞，则有：vv0(2nTt)aat式中t是碰撞n次后木板从起始位置至达到共同速度所需要的时间上式可改写为：2vv02nTa由于木板的速率只能在0到v1之间，故有：0v02nTa2v1解得：1.5n2.5由于n是整数，故n2解得：v0.2 m/s，t0.2 s从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为：t4Tt1.8 s