1、3.2.3 直线的一般式方程 直线的一般式方程 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.【思考】(1)方程y-y0=0是二元一次方程吗?提示:是,是A为0的二元一次方程.(2)直线与二元一次方程的关系是什么?提示:直线的方程都可以化为二元一次方程;二元一次方程都表示直线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式.()(2)直线的二元一次方程Ax+By+C=0中,若A=0,则B一定不等于0.()(3)直线的一般式方程可以写成Ay+Bx+C=0的形式.()提示:(1).如与x轴
2、平行的直线没有截距式.(2).因为A,B不同时为零.(3).直线的一般式方程必须写成Ax+By+C=0的形式.2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件 是()A.A0 B.B0 C.AB0 D.A2+B20【解析】选D.A,B满足不同时等于0.3.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为_.【解析】y-1=4(x+2)化为4x-y+9=0.答案:4x-y+9=0 类型一 直线的一般式方程【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB0,BC0),则直线不经过()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2019宿州高一检测)已知直线l经过点P(2,3)且斜
3、率为-,试求下列直线的一般式方程:(1)直线l.(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.32【思维引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断.2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.【解析】1.选A.直线Ax+By+C=0化为:y=-x-,又 AB0,BC0,所以-0,-0,则直线不经过第一象 限.ABCBABCB2.(1)直线l的方程是y-3=-(x-2),所以2y-6=3(2-x),所以3x+2y-12=0.所以直线l的一般式方程是3x+2y-12=0.(2)与l平行且过点(-3,1)的直线为y-1=-(x+3
4、),所以 2-2y=3x+9,所以3x+2y+7=0.3232(3)与l垂直的直线的斜率为k=所以y+1=(x-0),所以2x-3y-3=0.12,33223【内化悟】直线方程化为一般式时有哪些注意事项?提示:(1)按照x项、y项、常数项的顺序排列.(2)x项的系数一般为正.(3)系数A,B,C一般化为整数.【类题通】关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下,直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化,但是最常用的是一般式方程化斜截式方程,可以得出斜率、y轴截距,用于作图或转化解题.【习练破】1.若a,b,c都大于0,则直线ax+by+c=0的图象大致是图中的
5、()【解析】选D.直线ax+by+c=0化为:y=因为 a,b,c都大于0,所以-0,-0,所以直线ax+by +c=0的图象大致是图中的D.acxbb，cbab2.在ABC中,点A(-1,2),B(2,1),点C与点A关于y轴对称,则AB边上的高所在的直线方程为()A.x+3y-7=0 B.x+y-2=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【解析】选C.因为在ABC中,点A(-1,2),B(2,1),点C 与点A关于y轴对称,所以C(1,2),所以kAB=所以AB边上的高所在的直线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.1 212 13，【加练固】根据下列各条件写出直线的方程
6、,并且化成一般式.(1)斜率是-,经过点A(8,-2).(2)经过点B(4,2),平行于x轴.12(3)在x轴和y轴上的截距分别是 ,-3.(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).32【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0.(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.(3)由截距式得 =1,即2x-y-3=0.(4)由两点式得 即x+y-1=0.12xy332 y2x34253 ，类型二 含参数的一般式方程【典例】1.已知直线 x+3y+n=0在x轴上的截距为-3,则实数n的值为()A.-3 B.3 C.-D.333332.(2019安顺高一检测)设直线l的
7、方程为ax+y+2-a=0(aR).世纪金榜导学号(1)若直线l与直线l1:2x+y-2=0垂直时,求a的值.(2)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.【思维引】1.方法一:化为截距式,由x轴上的截距为-3,求n的值.方法二:令y=0,求得x值,即为直线在x轴上的截距.解方程求得.2.(1)根据两直线垂直时斜率之积为-1求解;(2)将直线与坐标轴的截距用a表示进而求解.【解析】1.选B.根据题意,方法一:直线方程变为 xyn1,3n3 3.nn333 所以，所以方法二:点(-3,0)在直线 x+3y+n=0上,即(-3)+n=0,解得n=3 .2.(1)直线l与直线l1:2x+y-2=0垂
8、直,斜率k1=-2,直线l斜 率为k=-a,由k1k=-1,解得a=-.33312(2)l在两坐标轴上的截距相等,显然a0,当x=0时,y=a-2,当y=0时,x=,则a-2=,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.a2aa2a【内化悟】直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题?提示:必须考察B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B分情况讨论.【类题通】已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤【习练破】若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值
9、.【解析】(1)由 解得m=2,若方程表示直线,则m2-3m+2与m-2不能同时为0,故m2.(2)由-解得m=0.2m3m20?m20，2m3m21m2，【加练固】设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值.(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.【解析】(1)由直线l在x轴上的截距为-3,则直线l过点(-3,0),即(m2-2m-3)(-3)-(2m2+m-1)0+6-2m=0.即 3m2-4m-15=0.得m=-或m=3(舍去).所以m=-.5353(2)由题意知,2m2+m-10,由直线l化为斜截式方程得 y=
10、得m=-2或m=-1(舍去).所以m=-2.22222m2m362mm2m3x,1,2mm 12mm 12mm 1则类型三 直线方程的综合应用 角度1 在镜面反射中的应用【典例】一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60,遇x轴后反射,则反射光线的直线方程为()A.x-y+4-2 =0 B.x-y-2-4 =0 C.x+y+4-2 =0 D.x+y-2-4 =0 33333333【思维引】求出反射光线的斜率、反射光线的一点后写直线的方程.【解析】选C.因为tan 60=,所以k=tan(180-60)=-,因为点A(2,4)关于x轴的对称点A(2,-4)在反射光线上,设反射光线所在的直线方程为
11、y=-x+b,所以-4=-2+b,解得b=2 -4,故反射光 线所在的直线方程为y=-x+2 -4,即 x+y+4-2 =0.333333333【素养探】在直线方程的应用过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过求对称点,设直线方程,用待定系数法求解.把本例中的条件变为“一条光线从点A(2,4)射出,遇x轴后反射,反射光线经过点B(5,2)”,试求反射光线的直线方程.【解析】点A(2,4)关于x轴的对称点A(2,-4),由镜面 反射原理,点A在反射光线的反向延长线上,又因为 kAB=2,所以反射光线的方程为y-2=2(x-5),即 2x-y-8=0.2452角度2 在直线平行、垂直中的应用【典
12、例】直线l1:mx+4y+3=0,l2:2x+(m+2)y+3=0,若l1l2,则m的值为_,若l1l2,则m的值为_.世纪金榜导学号 【思维引】利用直线平行、垂直时一般式的系数关系求值.【解析】若l1l2,由 解得m=-4或m=2,又 所以m2,所以m=-4;若l1l2,由2m+4(m+2)=0,解得m=-.答案:-4-m42m2，43m23，4343【类题通】一般式在直线平行、垂直中的应用 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(1)平行:A2,B2,C2均不为0,l1l2 A2,B2中有一个为0,则根据A1,B1是否为0判断位置关系;111222ABCABC
13、；若C2为0,则根据只需判断A1,B1与A2,B2的关系.(2)垂直:l1l2A1A2+B1B2=0.【习练破】1.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行,则a的值为()A.a=1 B.a=2 C.a=-2 D.a=-1【解析】选D.因为直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行,所以 解得a=-1,所 以a的值为-1.2a261a1a1，2.(2019温州高一检测)若直线x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,则a=()A.-2 B.0 C.-2或0 D.2【解析】选B.因为直线x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,所以1a+a2=0,解得a=0.【加练固】(2019洛阳高一检测)已知直线l1:3x+(m+1)y-6=0,l2:mx+2y-(m+2)=0,分别求满足下列条件的m的值.(1)l1l2;(2)l1l2.【解析】(1)若l1l2,则有3m+(m+1)2=0,解得m=-.(2)若l1l2,则有32-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2,25当m=-3时,直线l1与直线l2平行.当m=2时,直线l1与直线l2重合,不符合题意,舍去.所以m=-3.