1、河南省宏力学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理第I卷（选择题）一、单选题（共60分，每题5分）1某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（ ）A BC D.2某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为，根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A140B1200C2800D603从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
2、（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”4已知两条不同的直线，和一个平面，则一定推出“”成立的是（ ）A且B且C且D，与所成角相同5某单位高峰期过后，员工可以从周二到周日任意选两天休息，则员工甲选的两天不相邻的概率为（ ）ABCD6如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）ABD与CF成60BBD与EF成60CAB与CD成60DAB与EF成607宋代文学家欧阳修在卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了
3、“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm的圆，正中间有一边长为1cm的正方形小孔。现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为（ ）ABCD8已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则92019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：），2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则、中分别填入
4、的可以是（ ）A，B，C，D，10在空间四边形各边、上分别取点、，若直线、相交于点，则（ ）A点必在直线上B点必在直线上C点必在平面内D点必在平面内11袋子中有四个小球，分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“加”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计
5、，直到第二次就停止的概率为（ ）ABCD12如图，在四面体，.，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题（共20分，每题5分）13已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的mn_.14如图，在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_15任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是_16已知棱长为的正方体中，分别是线段、的中点，又、分别在线段、上，且设平面平面，现有下列结论
6、：平面；直线与平面不垂直；当变化时，不是定直线其中成立的结论是_(写出所有成立结论的序号)三、解答题17（10分）某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（）写出发言人员所有可能的结果构成的基本事件；（）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（）求至少选中1名护士发言的概率.18（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约用水，市民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们
7、某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当=3时，试完成该10000位居民该月水费的频率分布表，并估计该市居民该月的人均水费组号12345678分组频率19（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.20（12分）小明一家订阅的晚报会在下午5:306:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:007:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.(1)你认为
8、晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?21（12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，侧面底面，且为等腰直角三角形，为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成线面角的正切值22（12分）某连锁餐厅新店开业打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋)，得到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数（万人）13981012原材料（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程 （2）已知购买原材料的费用C(元)与数量
9、(袋)的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）参考公式：，参考数据：.高二理科数学 参考答案1A【解析】根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为人，则高三抽取人.故选：A.2C【解析】由频率分布直方图，得的频率为，的频率为，则该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是.故选：C.3C【解析】从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不
10、是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误故答案为：C4D【解析】若，若则或，故错误，若，当时或，故错误，若，且不一定成立，故错误，若则，与所成角相同，即正确，故选：5B【解析】员工甲从周二到周日任意选两天休息的所有情况有：（周二，周三）简记为（二，三），（后面也都这样表示）（二，四），（二，五），（二，六），（二，日），（三，四），（三，五），（三，六），（三，
11、日），（四，五），（四，六），（四，日），（五，六），（五，日），（六，日），共15种，其中两天不相邻共10种，则员工甲选的两天不相邻的概率为，故选：B6C由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，BDCF，BD与CF成0角，故A错误；BD平面A1EDF，EF平面A1EDF，BD与EF成90角，故B错误；AECD，BAE是AB与CD所成角，ABE是等边三角形，BAE=60，AB与CD成60角，故C正确；ABA1D，又A1DEF，AB与EF成90角，故D错误故选C7A 【解析】圆的面积为 ，正方形的面积为，则一滴油滴落入孔中的概率，.故选:A.8D，解：对于A, 若，则或对B, 若，则，则或
12、或与相交；对于C, 若，则或；对于D,若则,又因为,所以9D【解析】：由题可知， ，输出的值与非常近似， 则输出的 当时，不符合题意，当 时，符合题意，输出对应的值， 则 即 ， 可知，循环变量的初值为1，终值为1011，步长值为1，循环共执行1011次， 可得中填入的可以是， 又的值为正奇数倒数正负交错相加， 可得中填入的可以是 . 故选：D 10A【解析】在面上，而在面上，且、能相交于点，在面与面的交线上，是面与面的交线，所以点必在直线上故选：A11B【解析】经随机模拟产生了20组随机数中，13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13
13、32 21 34，恰好第二次就停止包含的基本事件有: 13，43, 23， 13， 13 共5个,由此可以估计，恰好第二次就停止的概率为.故选：B12A【解析】解：补成长，宽，高分别为，1的长方体（如下图）由于，故截面为平行四边形，可得，设异面直线与所成的角为，则，由于长方体长和宽分别为，则长方体底面是正方形，则有，所以：，则， ，当且仅当时取等号故选：A139【解析】根据茎叶图，可得甲组数据的中位数为21，根据甲、乙两组数据的中位数相等，得乙组数据的中位数为2120n，解得n1.又甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为22，所以22，解得m8，所以mn9.14【解析】连接，如图所示：因为，所
14、以或其补角为异面直线与所成角.，.在中， .故答案为：15【详解】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：.这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：，对应的区域如图，由圆面积的为，直线和区域围成的三角形面积是，则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率故答案为16【解析】连接BD，B1D1，A1PA1Qx，PQB1D1BDEF，易证PQ平面MEF，又平面MEF平面MPQ=，PQ，EF，平面，故成立；又EFAC，AC，故成立；EFBD，易知直线与平面BCC1B1不垂直，故成立；当变化时，是过点M且与直线EF平行的定直线，故不成立答案为：.17解：（）设2
15、名医生记为，3名护士记为，1名管理人员记为C，则基本事件为：.-4分（）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，又，-4分 .-7分（）设事件N：至少选中1名护士发言，则，-8分 .-10分18解（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，内的频率依次为，-3分所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%依题意，至少定为 -6分（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率-9分根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：=10.5（元）-12分19【详解】（1）证明：平面，平面，.-2分四边形是
16、菱形，-3分又，平面.而平面，-5分平面平面.-6分（2）解：平面，平面平面，-7分是中点，是中点.取中点，连结，四边形是菱形，又，平面，.-9分-10分V.三棱锥的体积.-12分 20(1) 事件A发生的可能性大(2)【解析】建立如图所示的坐标系.图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G,该试验的所有结果与区域G内的点(x,y)一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.-3分(1)作射线y=x(x0).晚报在晚餐前送达即yx,因此图中阴影部分表示事件A:“晚报在晚餐前送达”.而G中空白部分则表示事件B:“晚报在晚餐开始后送到”.由图知事件A发生的
17、可能性大.-6分(2)易求G的面积为1,而g的面积为,-9分，由几何概型的概率公式可得P(A)=.-12分21（理科）【详解】（1）如图所示，取的中点，连接、，、分别为、的中点，则且，-3分由已知条件可知且，且，所以，四边形为平行四边形，-5分平面，平面，因此，平面；-6分（2）取的中点，连接、，则是等边三角形，-8分为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，所以直线与平面所成的角为，-10分同理可得平面，平面，所以，因此，直线与平面所成线面角的正切值为.-12分22（1）根据表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得，-1分，-2分则，-4分所以，-5分所以y关于x的线性直线回归方程.-6分（2）由（1）中求出的回归直线方程，当时，可得，即预测需要原材料为袋，-7分因为，所以当时，利润，-9分当时，利润为；当时，利润为；当时，利润为，综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为元.-12分