1、2013 年高三数学一轮复习 第八章第 7 课时知能演练轻松闯关 新人教版 1若 kR，则方程 x2k3 y2k21 表示焦点在 x 轴上的双曲线的充要条件是()A3k2 Bk3 Ck2 Dk2 解析：选 A.由题意可知，k30，k20，解得3k0，b0)渐近线上的一点，E、F 是左、右两个焦点，若EPFP0，则双曲线的方程为()A.x23y241 B.x24y231 C.x29y2161 D.x216y291 解析：选 C.设 E(c,0)、F(c,0)，于是有EPFP(3c，4)(3c，4)9c2160.于是 c225.排除 A，B.又由 D 中双曲线的渐近线方程为 y34x，点 P 不在
2、其上排除 D.故选 C.3已知双曲线x2ay221 的一个焦点坐标为(3，0)，则其渐近线方程为_ 解析：由 a23，可得 a1，双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 x y20，即 y 2x.故填 y 2x.答案：y 2x 4设 P 是双曲线x2a2y291 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|3，则|PF2|等于_ 解析：由渐近线方程可得 a24，a2，根据双曲线定义|PF1|PF2|4，即|PF2|34，|PF2|7.答案：7 一、选择题 1若椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，则双曲线x2a2y2b21 的渐近
3、线方程为()Ay12x By2x Cy4x Dy14x 解析：选 A.由题意 a2b2a 32，所以 a24b2.故双曲线的方程可化为 x24b2y2b21，故其渐近线方程为 y12x.2(2012保定质检)已知 M(2,0)、N(2,0)，|PM|PN|3，则动点 P 的轨迹是()A双曲线 B双曲线左边一支 C双曲线右边一支 D一条射线 解析：选 C.|PM|PN|3|PN|，点 P 的轨迹为双曲线的右支 3已知点 F1(2，0)，F2(2，0)，动点 P 满足|PF2|PF1|2，当点 P 的纵坐标是12时，点 P 到坐标原点的距离是()A.62 B.32 C.3 D2 解析：选 A.由已
4、知可知 c 2，a1，b1，双曲线方程为 x2y21(x1)将 y12代入可求 P 的横坐标为 x 52.点 P 到原点的距离为 522122 62.4已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，F1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点 P，使|PO|PF1|，则此双曲线的离心率的取值范围是()A(1,2 B(1，)C(1,3)D2，)解析：选 D.由|PO|PF1|得点 P 的横坐标 x1c2，因为 P 在双曲线的左支上，所以c2a，即 eca2.故选 D.5(2011高考课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l与 C 交于 A，B 两点，|AB
5、|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()A.2 B.3 C2 D3 解析：选 B.设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程为 l：xc 或 xc，代入x2a2y2b21 得 y2b2c2a21 b4a2，yb2a，故|AB|2b2a，依题意2b2a 4a，b2a22，c2a2a2e212，e 3.二、填空题 6与椭圆x249y2241 有相同的焦点，且以 y43x 为渐近线的双曲线方程为_ 解析：双曲线焦点在 x 轴上，且半焦距 c 49245.又ba43，a2b2c2，a3，b4，所求双曲线方程为x29
6、y2161.答案：x29y2161 7(2012武汉调研)与椭圆x24y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程为_ 解析：设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，a2b2413，又4a21b21，解得 a22，b21，双曲线的方程为x22y21.答案：x22y21 8设 F1、F2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且PF1PF20，则|PF1PF2|_.解析：因为 F1、F2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点，所以 F1(10，0)，F2(10，0)由题意知|PF1PF2|2|PO|F1F2|2 10.答案：2 10 三、解答题 9已知椭圆 D
7、：x250y2251 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程 解：椭圆 D 的两个焦点为 F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.设双曲线 G 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，渐近线方程为 bxay0 且 a2b225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r3.|5a|b2a23，得 a3，b4，双曲线 G 的方程为x29y2161.10已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，且a2c 33.(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线
8、 xym0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2y25上，求 m 的值 解：(1)由题意，得 a2c 33，ca 3，解得 a1，c 3，b2c2a22，所求双曲线 C 的方程为 x2y221.(2)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，由 x2y221，xym0，得 x22mxm220(判别式 0)，x0 x1x22m，y0 x0m2m，点 M(x0，y0)在圆 x2y25 上，m2(2m)25，m1.11已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2，且点(4，10)在双曲线上(
9、1)求双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF2的面积 解：(1)离心率 e 2，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为 x2y2(0)点(4，10)在双曲线上，42(10)26.所求双曲线方程为 x2y26.(2)证明：若点 M(3，m)在双曲线上，则 32m26，m23.由双曲线 x2y26 知焦点 F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，MF1MF2(2 33，m)(2 33，m)9(2 3)2m20，即MF1MF2，故点 M 在以 F1F2 为直径的圆上(3)SF1MF212|F1F2|m|2 3 36.高考资源网w w 高 考 资源网
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