1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第十三节 定积分与微积分基本定理上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义上一页返回首页下一页高三一轮总复习1定积分的概念与性质(1)定积分的定义给定一个在区间a，b上的函数 yf(x)，将a，b区间分成 n 份，分点为：ax0 x1x2xn1xnb.上一页返回首页下一页高三一轮总复习第 i 个小区间为xi1，xi，设其长度为 xi，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i，如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，Sf(1)
2、x1f(2)x2f(i)xif(n)xn 的值趋于常数 A，我们称 A 是函数 yf(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dxA.其中叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)定积分的几何意义图 2-13-1一般情况下(如图 2-13-1)，定积分abf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f(x)的图像以及直线 xa、xb 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)定积分的基本性质ab1dxba；abkf(x)dx
3、kabf(x)dx(k 为常数)；abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx；abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx.上一页返回首页下一页高三一轮总复习2微积分基本定理如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 F(x)f(x)，则有abf(x)dxF(b)F(a)常把 F(b)F(a)记成 F(x)ba，即abf(x)dxF(x)ba F(b)F(a)上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则abf(x)dxabf(t)dt.()(2)若 f(x)是偶函数，则a
4、af(x)dx20af(x)dx.()(3)若 f(x)是奇函数，则aaf(x)dx0.()答案(1)(2)(3)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)已知质点的速率 v10t，则从 t0 到 tt0 质点所经过的路程是()【导学号：57962121】A10t20 B5t20C.103 t20D53t20B.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2017长沙模拟(一)01exdx_.e1 01exdxex|10e1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2015天津高考)曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_16 如图，阴影部分的面积即为所求 由yx2，yx，得 A(
5、1,1)故所求面积为.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5若0Tx2dx9，则常数 T 的值为_3 0Tx2dx13T39，T0，T3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习定积分的计算 计算下列定积分(1)；(2)02|1x|dx.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)201x2dx2x33|1023.6 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)02|1x|dx01(1x)dx12(x1)dx x12x2|1012x2x|21 112 012222 12121 1.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简
6、，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分；(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错 2根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(1)(2017石家庄质检(二)-11(x2 1x2)dx_.(2)设 f(x)x2，x0，1，1x，x1，e(e 为自然对数的底数)，则0ef(x)dx 的值为_上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)223(2)43(1)原式-11 x2dx-111x2dx13x3|11-111x2dx23-11
7、1x2dx，-111x2dx 等于半径为 1 的圆面积的12，即-111x2dx2，故原式223.(2)f(x)x2，x0，1，1x，x1，e，0ef(x)dx01x2dx1e1xdx13x3|10ln x|e113ln e43.上一页返回首页下一页高三一轮总复习利用定积分求平面图形的面积 (1)曲线 yx2，y x与 x 轴所围成的面积为_(2)已知曲线 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则 k_.【导学号：57962122】上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)76(2)2(1)如图所示，由 y x及 yx2 可得交点横坐标为 x1.由定积分的几何意义可知，由
8、y x，yx2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为01 xdx12(x2)dx23x32|102xx22|2176.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由yx2，ykx，得x0，y0或xk，yk2，则曲线 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为 0k(kxx2)dxk2x213x3|k0 k3213k343，即 k38，k2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案 易错警示：利用定
9、积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2(1)(2016山东威海一模)曲线 ysin x(0 x)与 x 轴围成的封闭区域的面积为_(2)抛物线 y24x 与直线 y2x4 围成的平面图形的面积为_.【导学号：57962123】上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)2(2)9(1)由题意知封闭区域的面积 S0sin xdxcos x|0cos(cos 0)1(1)2.(2)由y24x，y2x4，得x1，y2 或x4，y4.画出草图如图所示 上一页返回首页下一页高三一轮总复习选用 x 为积分变量所
10、求面积为 012 x(2 x)dx14(2 x2x4)dx 423x32|10223x32|41x2|414x|41 83323 43(161)(164)9.上一页返回首页下一页高三一轮总复习定积分在物理中的应用 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()【导学号：57962124】A125ln 5 B825ln113C425ln 5D450ln 2上一页返回首页下一页高三一轮总复习C 由 v(t)73t 251t0，可得 t4t83舍去，因此汽车从刹车到停止 一
11、共 行 驶 了 4 s，此 期 间 行 驶 的 距 离 为04 v(t)dt 0473t 251t dt 7t32t225ln1t|40425ln 5.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 sabv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WabF(x)dx.上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 一物体在力 F(x)5，0 x2，3x4，x2(单
12、位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_J.上一页返回首页下一页高三一轮总复习36 由题意知，力 F(x)所做的功为 W04F(x)dx025dx24(3x4)dx 5232x24x|42 10324244322242 36(J)上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a)(2)利用定积分的几何意义求定积分 2对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分 2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量 3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限 4定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（十六）点击图标进入
