1、绝密启封并使用完毕前2021年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。第卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则取值范围是A. B. C. D. 2.设复数（是虚数单位），则A B C D 3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有A.8 B. 12 C. 16 D. 204.设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是A. B. C. D. 5.已知实数，满足，则的最大值为A
2、. B. C. D.6.已知，则A B C D 7.设是等比数列，前项和为，若 则A. B. C. D. 8.已知函数的图象如图所示，其中为正整数， ，则A. ， B. ， C. ， D. ，9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记和的面积分别为，则 A. B. C. D. 10.九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上
3、、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为 A. B. C. D.11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是A. B. C. D. 12.对任意，使得不等式成立的最大整数为A. B. C. 0 D. 1第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则曲线在处的切线方程为 .14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为 .15.已
4、知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为. 连接，设直线，的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为 .16.钝角的面积是，角的平分线交于点，则 .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列满足，.（）求证：数列为等差数列；（）设数列的前项和.证明：.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心.（）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（）若四面体是正四面
5、体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。（）求小强同
6、学前三道题都答对的概率；（）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（）求小强同学能通过比赛的概率.20.（本小题满分12分）设，分别为椭圆（）的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，已知的面积为，.（）求椭圆的标准方程；（）是否存在与平行的直线，满足：直线与椭圆交于两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数，.（）当，时，求证：；（）若恒成立，求的最大值. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分.22. 选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在直角
7、坐标系中，曲线：（为参数，常数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线的极坐标方程为.（）若曲线与有公共点，求的取值范围；（）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数（）解不等式：；（）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.2021年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案第卷二、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CBCADABCCADB1.【解析】由知，故，
8、得.故选C.2.【解析】，.故选B.3.【解析】可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种故选 C.4.【解析】由函数解析式知函数是定义在上的奇函数和单调递增函数，于是原不等式可化为，所以，解得.故选A.5.【解析】画出线性约束区域，所以当直线经过点时，目标函数有最大值， 最大值为3.故选D.6.【解析】由，得. 因为，所以，即，所以，故选A.7.【解析】设是等比数列的公比为，故，从而，即，解得，故选B.8.【解析】由图象可知，即，得. 因为为正整数，所以. 又时，
9、所以，即，已知，所以. 故选C.9.【解析】由题意可知，直线的方程为，代入，整理得.设点、的坐标分别为，因为点位于轴上方，所以，所以，故选C.10.【解析】设“方亭”的上底面边长为,下底面边长为,高为h，则，故选A11.【解析】解法1：取，则点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且.故的取值范围是.选D.解法2：不妨设，. 因为，所以，设，所以，由于，故. 故选D.12. 【解析】由题意知，有 ，令，则. 令，易知其单调递增，因为，所以存在，使得， 因此在单调递减，单调递增， ，所以最大整数为，故选B.第卷二、填空题：本题
10、共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】因为，所以切线方程为.14.【解析】由题意，则，由，可得，故累计时长超过50小时的人数大约有人.15.【解析】已知焦点，的坐标分别为，其中.根据对称性，不妨设点在渐近线上，则直线的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得，故.16.【解析】由，得，若角为锐角，则，此时，即，由于，则为锐角三角形，不符合题意.故为钝角，此时，故.在中，由正弦定理得，同理，在中，而在中，由于，故，由于,故，所以，所以.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答
11、.（一）必考题：60分.17.（本小题满分12分）【解析】（），数列是首项为1，公差为1的等差数列； 6分（）由（）知：，.所以. 12分18.（本小题满分12分）【解析】（）如图1，取的中点，的中点，连接，根据棱柱的性质可得，所以，所以四边形是平行四边形，所以平面. 因为与相交，所以与相交. 5分 （）因为四面体是正四面体，是的中心，所以平面，. 所以以为坐标原点，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系.易得，.所以，所以，故是平面的法向量.又是平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则. 12分19.（本小题满分12分）【解析】（）小强同学前三道题都答对的概率. 3分（
12、）X可能取6,7,9,10,11,14,16,17,18,19.随机变量X的分布列为X67910111416171819P 7分（）小强同学能通过比赛的概率 12分注：答题得分情况如下初始分ABCD累计得分能否通过比赛对错得分1分对错得分2分对错得分3分对错得分6分1011131616能101113111717能1011131199否10119121818能10119121010否1011977否10810131919能10810131111否1081081414能10810866否10866否20.（本小题满分12分）【解析】()设，则的面积等于，所以.由，即，得.因为在直角中，所以，所以.
13、 由及，得 ，所以椭圆的标准方程为. 5分（）因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，代入 ，整理得.由，得.设，则，.若以线段为直径的圆经过坐标原点，则，即，得，所以，得.因为,所以.所以存在满足条件的直线，方程为或. 12分21.（本小题满分12分）【解析】（）当，时，所以，所以当时，；当时，所以当且仅当时，有最小值. 因为，所以. 5分（）解法1：恒成立，即，且要求，所以，若，对任意的实数，当且时，由于，故不等式不成立.若，设，则.当，当，从而在上单调递减，在单调递增；故有最小值因此，所以.设（）则所以在上单调递增，在上单调递减.从而的最大值为.当，时，取等号，故的最大值为. 12分解法
14、2：恒成立，即恒成立.若，对任意的实数，当且时，不等式不成立，所以.令，则，由于，当时，当时，所以在上有最小值，最小值为.由恒成立，得，所以（以下同解法一）解法3：恒成立，即，从而，曲线不在直线的下方. 设与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点为，则该切线方程为，所以.要使曲线不在直线的下方，必须因为，所以，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即 故的最大值为.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）【解析】（）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为 若与有公共点，则，所以. 5分（）设，由 ，得. 当且仅当时取最大值，故的最小值为. 10分23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）【解析】（）由得或或，解得或或. 故不等式的解集为. 5分（）由题意知，当时，恒成立 若，则，.7分若，则，. 综上可知，实数的取值范围是 10分高三（理）数学试题 第 17 页 共 17 页
