1、模块复习课第2课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.已知椭圆x29+y2n2=1(n0)与双曲线x24-y2m2=1(m0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分解析椭圆x29+y2n2=1与双曲线x24-y2m2=1有相同的焦点,9-n2=4+m2,即m2+n2=5(0n0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23
2、-y29=1D.x29-y23=1解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.答案C3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3,4)(0),MA=-4MB,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为()A.2B.-2C.-4D.4解析A(x1
3、,y1),B(x2,y2),M(1,0),AB=(3,4)(0),直线AB的方程为y=43(x-1),与y2=ax联立可得y2-34ay-a=0.y1+y2=34a,y1y2=-a,MA=-4MB,y1=-4y2.由可得a=4.故选D.答案D4.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是()A.-,-22B.22,+C.-12,12D.-22,22解析设过点M(-2,0)的直线l的方程为y=k(x+2),联立y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共
4、点,=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)0,整理得k212,解得-22k22,直线l的斜率k的取值范围是-22,22.故选D.答案D5.已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(ab0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆C2的离心率的取值范围是()A.22,32B.12,1C.32,1D.22,1解析设P(m,n),由题意知m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1,e2m2=b2,又0|m|a,0m2a2,即b2e2a2,解得22eb0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=|PF2|122,F1PF2
5、=2,则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1解析设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=t,即有(+1)t=2a.由F1PF2=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(2+1)t2=4c2.由2,可得e2=2+1(+1)2.令m=+1,可得=m-1,即有2+1(+1)2=m2-2m+2m2=21m-122+12.由122,可得32m3,即131m23,则当m=2时,取得最小值12;当m=32或m=3时,取得最大值59.即有12e259,解得22e53.故选B.答案B
6、7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值为.解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=bax的距离为|bc0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因为a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2.答案28.抛物线y2=-8x上到焦点距离等于6的点的坐标是.解析抛物线方程为y2=-8x,可得2p=8,p2=2,抛物线的焦点为F(-2,0),准线为x=2.设抛物线上点P(m,n),到焦点F的距离等于6,根据抛物线的定义,得点P到F的距离等于P到准线的距离,即|PF|=-m+
7、2=6,解得m=-4,n2=8m=32,可得n=42,因此,点P的坐标为(-4,42).答案(-4,42)9.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.解析如图,由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由F1BF2B=0,得F1BF2B.则OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.则ba=tan60=3.所以e=ca=1+ba2=1+3=2
8、.答案210.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点为F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为267,求直线l的方程.解(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).又点3,12在椭圆C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x
9、2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则x02+y02=3,所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因为x0,y00,所以x0=2,y0=1.因此,点P的坐标为(2,1).因为三角形OAB的面积为267,所以12ABOP=267,从而AB=427.设A(x1,y1),
10、B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y0248y02(x02-2)(4x02+y02)2.因为x02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0,解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22.综上,直线l的方程为y=-5x+32.能力提升1.已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线相交于M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=25,则a=()A
11、.2B.4C.6D.8解析依题意点F的坐标为a4,0,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|FM|MN|=25,则|KN|KM|=12,kFN=0-1a4-0=-4a,kFN=-12.4a=2,求得a=2.故选A.答案A2.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|
12、yP|=12632=324.故选A.答案A3.设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15
13、).答案(3,15)4.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.解析根据题意可画出下图,其中BD和AC为双曲线的渐近线,ABF2CDF1是正六边形.由题意可知BOF2=3,故双曲线的渐近线BD的方程为y=nmx=3x,故双曲线的离心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2.设AB=x,由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=3-1.答案3-125.已知椭圆C:x225+y
14、2m2=1(0m0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故A
15、P2Q2的面积为1213026130=52.综上,APQ的面积为52.6.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为22,且一个焦点坐标为(2,0).(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上,O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,椭圆M的方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立y=kx+m,x2+2y2=4,化为(1+2k2)x2+4kmx
16、+2m2-4=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)0,化为2+4k2-m20,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).x0=x1+x2=-4km1+2k2,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.点P在椭圆M上,x024+y022=1.4k2m2(1+2k2)2+2m2(1+2k2)2=1,化为2m2=1+2k2,满足0.又点O到直线l的距离d=|m|1+k2=12+k21+k2=1-12(1+k2)1-12=22.当且仅当k=0时取等号.当直线l无斜率时,由对称性可知:点P一定在x轴上,从而点P的坐标为(2,0),直线l的方程为x=1,点O到直线l的距离为1.点O到直线l的距离的最小值为22.
