1、第 五 讲 平面向量的数量积 考点全解知识梳理 夯实基础知识点1 平面向量的数量积的定义及意义1两个向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.2平面向量数量积的几何意义（1）对于，其中叫做向量在方向上的投影（为向量与 的夹角）.当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值； 当时，它是0；当时，它是.的几何意义是：等于的长度与在的方向上的投影的乘积.（2）也等于与在方向上投影的乘积.其中在方向上投影与在的方向上的投影是不同的.（3）注意：在方向上投影可以写为.知识点2 平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相
2、同的单位向量，是与的夹角，则（1）；（2）；（3）若与同向，则；若与反向，则，特别地：或；（4）若为，的夹角，则（5）.知识点3 平面向量数量积的运算律（交换律）；（结合律）（分配律）、 考向剖析考法整合 分类解读题型1 平面向量的数量积例1已知，与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）；（4）.【变式1-1】已知向量，（1）求；（2）求；（3）求；【变式1-2】设、满足，且与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）.题型2 向量的投影例2（1）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A4B3C2D1（2）若向量，满足，则在方向上的投影为（ ）A1BCD【变式2-1】已知向量，满足，且在方向上的
3、投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）ABCD【变式2-2】已知向量满足，则向量在向量上的投影为_题型3 向量垂直问题例3已知非零向量，满足，若，则实数的值为 .【变式3-1】设非零向量满足，且，则向量与的夹角为_.【变式3-2】在中，记，且为正实数），（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于的函数；（3）求函数的最小值及此时角的大小题型4 判断三角形的形状例4已知非零向量和满足，且 ，则ABC为（ ）A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形【变式4-1】已知、是三角形的三个顶点，则 为（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D既非等腰三角形又非直角三角形【变式4-
4、2】已知向量，的夹角为，若，则为（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形题型5 利用数量积求参数例5（1）已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为 .（2）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【变式5-1】已知向量，的夹角为120，且，当向量与的夹角为钝角时，求的取值范围.【变式5-2】在ABC中，ABAC，点P为线段AB上的一点，且（1）若，求的值；（2）若A120，且，求实数的取值范围 巩固练习巩固解题策略 培养核心素养1设A，B，C是圆上不同的三个点，O为圆心，且，存在实数，使得，实数，的关系为（ ）ABCD2在中，则在方向上的投影为（ ）A4B3C-4D53点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形4已知，（1）若，求与的夹角；（2）若与的夹角为，试确定实数，使与垂直.5已知，且与的夹角为.（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求实数的值.6已知，且与夹角为120，求：（1）；（2）在上的投影；（3）与的夹角.7在三角形，已知，（1）求（2）已知与成钝角，求实数的取值范围
