1、安徽省安庆市2020届高三数学第三次模拟考试试题 文（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项： 1答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。2答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写 的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题
2、5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 3. 已知抛物线，则下列关于抛物线的叙述正确的是（ ）A. 抛物线没有离心率 B. 抛物线的焦点坐标为 C. 抛物线关于轴对称 D. 抛物线的准线方程为4. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A. B. C. D.5. 在正方体中，点分别为棱的中点，过点作平面截正方体的表面所得图形是（ ）.A. 三角形 B. 平行四边形C. 等腰梯形 D. 平面
3、五边形6. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 53 B. 159 C. 161 D. 4857. 某居民小区1单元15户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨），若这组数据的平均数是19，则的值是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D.88. 已知实数满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）.A.1 B. C. D. 9. 底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心）的外接球半径与内切球半径比值为（ ）A. B. 3 C. D. 210. 已知函数是上的奇函数，其中，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（ ）.将函数的图象向右平移个单位可以得
4、到函数的图象；函数图象的一条对称轴方程为；当时，函数的最小值为；函数在上单调递增. A. B. C. D.11. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.12. 已知分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）.A. 7 B. 8 C. D. 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）13. 已知曲线在点处的切线方程为
5、，则实数的值为_.14. 已知平面向量满足，设的夹角为，则的值为_.15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为_.16. 在中，角所对边分别为，若，则外接圆的半径大小是_.三、解答题：（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知各项均不为0的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（）求数列的通项公式与；（）设，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）如图，圆锥中，是圆的直径，且,是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.（）求证：在
6、平面内的射影是；（）若，求底面圆心到平面的距离.19. （本小题满分12分） 某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗30注射疫苗70总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为. （）能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取3只进行病例分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.附：，0.100.050.0250.0100.0050
7、.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为2.（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，线段的中垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数，其中.（）当时，判断函数的零点个数；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程在平面
8、直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）设点分别是曲线上两动点且，求面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修45不等式选讲已知函数（其中实数）（）当，解不等式；（）求证：.安庆市2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B 解析：由条件知，则，故选B.2.D 解析：，其虚部为2.故选D.3.D 解析：由条件知抛物线的离心率为1，其焦点坐标为，关于轴对称，准线方程为，故选D.4.B 解析：由函数图象关
9、于原点对称知该函数为奇函数，排除C，D，又当时，知答案A不符合，故选B.5.C 解析：连，则，且，于是所得截面图形是梯形，设正方体棱长为，则，因此所得截面图形是等腰梯形，故选C.6.C 解析：执行循环体，依次得到：,此时不满足条件，输出161，故选C.7.A 解析：由茎叶图知12+13+15+14+19+17+16+16+23+20+25+28+21+20+24=1915，所以，选A.8. B 解析：作出可行域，发现当时，目标函数取到最大值，最大值为.9.A 解析：不妨设其棱长为2，则外接球半径为，内切球半径为，于是，故选A.10.C 解析：因函数是上的奇函数，则要使函数是上的奇函数，则函数是
10、上的偶函数，又得，所以，于是，.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，错误；当时，正确；当时，于是函数的最小值为，正确；函数在上单调递减，错误.故选C.11. D 解析：作出函数的图象，直线过定点.当时，显然满足题意；当时，不符合；当时，联立得，其，解得.综上可得实数的取值范围是，故选D.12.A 解析：双曲线中，圆半径为，（当且仅当共线且在之间时取等号），当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号的最小值是7故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1 解析：由题意，所以，得.14. 解析：由已知得，于是，.15. 解析：设正方形的边长为，则空白部分的面积为，因此所求概率
11、为.16. 解析：由条件知，根据正弦定理得，所以，又于是，因，所以，又，所以，设外接圆的半径大小为，根据正弦定理得，因此.三、解答题：本大题满分60分17. （本小题满分12分）解：（）设等差数列的公差为，则，由成等比数列知，因，得，于是，解得，.6分（）因，所以.12分18. （本小题满分12分）解：（）因，所以,因，所以是正三角形，又点是的中点，又平面，平面，所以在平面内的射影是.5分()由知，设点到平面的距离为，则，解得，所以底面圆心到平面的距离为.12分19. （本小题满分12分）解：（）由条件知，所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效. .6分（）由条件知将抽到的3只未注射疫苗且
12、未感染病毒的小白鼠记为A，B，C，将抽到的3只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为D，E，F，从这6只小白鼠中随机抽取2只共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）等15种可能，抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有（D，E），（D，F），（E，F）等3种情况，所以抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为.12分20. （本小题满分12分）解：（）设，则，化简整理得.所以动点的轨迹的方程为.4分（）设，联立，消去，得，根据韦达定理可得，所以，又，
13、于是，所以. 令，解得因此存在，使.12分21. （本小题满分12分）解：（）当时，其定义域为，求导得，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，又，所以函数的零点个数为1；5分（）法1：因对任意， 恒成立，即对任意恒成立，于是对任意恒成立，令，只需.对函数求导，得，令，则，所以函数在上单调递增.又，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数，于是，即实数的取值范围为.12分法2：因对任意，恒成立，即对任意恒成立.构造函数，对其求导，得，令，得（舍去），所以当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增.函数的图象是一条过原点的射线（不包括端点），旋转射线（不含端点），发现与函数的
14、图象相切时属临界状态.设切点为，则，整理得，显然在上是增函数，又，所以，此时切线斜率为1，结合图象，可知实数的取值范围为.12分 法3：根据题意只需即可.又，令，因2与异号，所以必有一正根，不妨设为，则，即，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以又在上是减函数，又，所以，由得在上单调递增，则实数的取值范围为.12分22（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程解：（）由条件知消去参数得到曲线的普通方程为.因可化为，又，代入得，于是曲线的直角坐标方程为.5分（）由条件知曲线均关于轴对称，而且外切于原点，不妨设，则，因曲线的极坐标方程为，所以，于是，所以当时，面积的最大值为6.10分23.（本小题满分10分）选修45不等式选讲解：（）由条件知时，于是原不等式可化为；解得；解得；解得，所以不等式的解集为5分（）由已知得当且仅当时，等号成立，于是原不等式得证. 10分
