1、单元质检卷四三角函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若=cos 2 021,则角的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3cos ,2),则sin 的值等于()A.53B.23C.-23D.-533.(2021湖南师大附中高三月考)已知1+sin22cos2+sin2=2,则tan 2=()A.-34B.-43C.34D.434.(2021山西太原高三月考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,
2、b,c,且bsin(-C)-2ccos(+B)=0,则tan B=()A.22B.2C.-22D.-25.(2021安徽合肥高三期末)已知函数f(x)=tanx+6(0)的图象上相邻两个对称中心的距离为4,若将f(x)的图象向右平移12个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为()A.k2-4,k2+4(kZ)B.k2-7k24,k2+524(kZ)C.k-712,k+512(kZ)D.k-2,k+2(kZ)6.如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)
3、与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h(t)=-8sin6t+10B.h(t)=-cos6t+10C.h(t)=-8sin6t+8D.h(t)=-8cos6t+107.(2021天津和平高三期中)已知函数f(x)=asin(x+)+cos(x+)0,|0,-0,0,|2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标;(2)设(0,),且f2=-2,求的值.19.(12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2.(1)若A=6,求cos 2B;(2)当A取得最大值时,求ABC的面积.20.(12分)(2021河北石家庄高三二模)已知函数f(x
4、)=cosx+2cosx+54.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移4个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)的图象,求函数g(x)在0,上的值域.21.(12分)(2021福建宁德高三二模)如图,准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=3千米,AN=3千米.(1)求线段MN的长度;(2)若MPN=60,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(12分)如图,平面四边形ABCD
5、,点B,C,D均在半径为533的圆上,且BCD=3.(1)求BD的长度;(2)若AD=3,ADB=2ABD,求ABD的面积.单元质检卷四三角函数1.D解析:因为=cos2021=-1-2,0,所以角的终边在第四象限,故选D.2.B解析:由三角函数定义得tan=23cos,即sincos=23cos,所以sin=23,故选B.3.A解析:因为1+sin22cos2+sin2=1+2sincos2cos2+2sincos=(sin+cos)22cos(sin+cos)=sin+cos2cos=12tan+12=2,所以tan=3,从而可得tan2=2tan1-tan2=61-9=-34,故选A.4
6、.D解析:由已知得bsinC+2ccosB=0,即sinBsinC+2sinCcosB=0,因为sinC0,所以sinB+2cosB=0,故tanB=-2,故选D.5.A解析:依题意得T2=4,所以T=2,所以=2,解得=2,所以f(x)=tan2x+6,把f(x)的图象向右平移12个单位长度,得到函数g(x)=tan2x-12+6=tan2x的图象,令k-22xk+2,kZ,解得k2-4x0,0,|2,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,A=hmax-hmin2=8,B=hmax+hmin2=10,=2T=6,则h=8sint6+10.当t=0时,8sin+10=2,得sin=
7、-1,则=-2,所以h=8sin6t-2+10=-8cos6t+10.故选D.7.A解析:由最小正周期为,可得=2.最小值为-2,a2+1=2,a=3.f(x)=-f2-x,函数图象关于点4,0对称.若a=3,则f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)=2sin2x+6.24+6=k(kZ),=k-23(kZ).令k=1,得=3.若a=-3,则f(x)=-3sin(2x+)+cos(2x+)=-2sin2x+-6,24+-6=k(kZ),则=k-3(kZ).令k=0,得=-3.综上可得,=3,故选A.8.A解析:由cos2C=1-c2b2,结合正弦定理可得1-2sin2C=1-sin2C
8、sin2B,整理得sin2B-2sin2Csin2B=sin2B-sin2C.又C为锐角,故sinC0.于是sin2B=12,从而sinB=22.又因为三角形ABC是锐角三角形,所以B=4.9.B解析由已知可得0,则020,故不正确,tan32-2=tan2-2=1tan20,故不正确;当2时,cos(-)=cos0,tan(+)=tan0,故正确.故选B.10.B解析:由题意可得g(x)=cos2x+8+12=cos2x+3,函数g(x)的最小正周期为,故A正确;当x0,2时,2x+33,43,故g(x)在区间0,2上不单调,故B不正确;g12=0,故x=12不是函数g(x)图象的对称轴,故
9、C正确;当x-6,6时,2x+30,23,当2x+3=23,即x=6时,g(x)取得最小值-12,故D正确,故选B.11.D解析:因为tan(+)=tan+tan1-tantan,且tan(+)=tan+tan,所以1-tantan=1,即tantan=0,所以=k1(k1Z)或=m1(m1Z),sin(+)=sin(k1+m1)=0(k1,m1Z),故A错误;cos(+)=cos(k1+m1)=1(k1,m1Z),故B错误;sin22+sin22=sin2k12+sin2m12,令k1=m1=1,则sin22+sin22=2,故C错误;由A知sin(+)=0,则+=n(nZ),故sin2+c
10、os2=sin2+cos2(n-)=sin2+cos2=1(nZ),故D正确,故选D.12.C解析:依题意得2sinCcosC=sinAcosA(2-2cos2C+cosC-2),即2sinCcosC=sinAcosAcosC(1-2cosC),整理得cosC2(sinAcosC+cosAsinC)-sinA=0,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinA=2sinB.当cosC=0时,ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sinA=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,故C选项错误,D选项正确;无论cosC=0或sinA=2sinB,均可得角B为锐角,故B选项正确.1
11、3.-22解析:依题意可得22=2,=-2,即=2,=-2,于是f(x)=2cos4x,因此f6=2cos46=-22.14.74解析:sinC=2sinA,c=2a.又b2-a2=12ac,b2=2a2,即b=2a.由余弦定理可得,cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a=34.又0B,sinB=1-cos2B=1-(34)2=74.15.9解析:由题得sincos-cossin=25,sincos+cossin=12,两式相加得sincos=920,两式相减得cossin=120,因此tantan=sincoscossin=920120=9.16.22解析:AB=BD
12、,ABBD,在等腰直角三角形ABD中,AD=2AB=2c.在ABC中,由余弦定理得a2+b2-2abcosBCA=c2,又已知c2=2abcosBCA,a2+b2=2c2.又a=BC=CD,b=AC,AD=2c,AC2+CD2=AD2,ACCD.作CFBD分别交BD,AD于点F,E,BC=CD,E,F分别为线段AD,BD的中点,CED=45,CE=ED=1,SACD=2SECD=212ECEDsin45=22.17.解(1)f()=sin(32+)cos(2-)sin(+)cos(2-)(1-cos2)2=-cossin(-sin)cos(2sin2)2=cossinsincos4sin4=c
13、oscos4sin2=14tan2.(2)因为tan=12,所以tan-34=tan-tan341+tantan34=12-(-1)1+12(-1)=3,所以f-34=14tan2(-34)=1432=136.18.解(1)由函数图象可知A+B=1,B-A=-3,则A=2,B=-1.又T2=712-12=2,即T=,所以=2T=2,从而函数f(x)=2sin(2x+)-1.把12,1代入f(x)解析式得6+=2+2k,=3+2k(kZ).又|2,故=3,所以函数解析式为f(x)=2sin2x+3-1.由2x+3=k(kZ)得x=-6+k2(kZ),所以对称中心坐标为k2-6,-1(kZ).(2
14、)因为f2=2sin+3-1=-2,所以sin+3=-12.又(0,),则+33,43,所以+3=76,即=56.19.解(1)由正弦定理asinA=bsinB得,312=2sinB,解得sinB=33,cos2B=1-2sin2B=1-23=13.(2)由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=c2+14c,c2+14c2c4c=12,当且仅当c=1时,等号成立,cosA12,则0A3,即A的最大值为3,此时SABC=12bcsinA=122132=32.20.解(1)f(x)=cosx+2cosx+54=(-sinx)-cosx+4=sinx22cosx-22sinx=22sinxco
15、sx-22sin2x=24sin2x-221-cos2x2=24sin2x+24cos2x-24=12sin2x+4-24,所以函数f(x)的最小正周期为22=.由-2+2k2x+42+2k(kZ),得-38+kx8+k(kZ),故函数的单调递增区间为-38+k,8+k(kZ).(2)函数f(x)的图象向右平移4个单位长度,得到y=12sin2x-4+4-24=12sin2x-4-24,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)=12sinx-4-24.因为x0,则x-4-4,34,则sinx-4-22,1,故g(x)-22,12-24.故函数g(x)在0,上的值域为-22,12-24.21.解(
16、1)在AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AMANcos120=3+3-233-12=9,所以MN=3,故线段MN的长度为3千米.(2)设PMN=,因为MPN=60,所以PNM=120-.在PMN中,由正弦定理得MNsinMPN=PMsin(120-)=PNsin=3sin60=23,所以PM=23sin(120-),PN=23sin.因此PM+PN=23sin(120-)+23sin=2332cos+12sin+23sin=33sin+3cos=6sin(+30).由于0120,所以30+30150.所以当+30=90,即=60时,PM+PN取到最大值6.即两条观光线路距离之和的
17、最大值为6千米.22.解(1)由题意可知,BCD的外接圆半径为533,由正弦定理BDsinBCD=2R=5332,解得BD=5.(2)(方法1)在ABD中,设ABD=,为锐角,则ADB=2,因为ABsin2=ADsin,所以AB2sincos=3sin,所以AB=6cos.因为AD2=AB2+BD2-2ABBDcos,即9=36cos2+25-60cos2,所以cos=63.则AB=6cos=26,sin=33,所以SABD=12ABBDsin=52.(方法2)在ABD中,因为ADB=2ABD,所以sinADB=sin2ABD=2sinABDcosABD,所以AB=2ADcosABD=2ADAB2+BD2-AD22ABBD,因为BD=5,AD=3,所以AB=26,所以cosABD=63,则sinABD=33,所以SABD=12ABBDsinABD=52.
