1、微专题22椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置本专题以椭圆中的斜率之积(和)为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.例题：过椭圆C：y21的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标变式1若将上述试题中“椭圆C的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭
2、圆y21的上顶点A作两条直线分别交椭圆于M，N两点，且两条直线的斜率之积为.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标串讲1(2010江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右顶点为A，B，右焦点为F，设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，y10，y20，设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)串讲2已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过
3、定点(2018九章密卷)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，右准线l：x2，设O为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，直线AP交l于M(点M在x轴下方)(1)求椭圆E的标准方程；(2)过右焦点F作OM的垂线与以OM为直径的圆H交于C，D两点，若CD，求圆H的方程；(3)若直线AP与AQ的斜率之和为2，证明：直线PQ过定点，并求出该定点如图，已知椭圆E1方程为1(ab0)，圆E2方程为x2y2a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B，C.设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定
4、点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由答案：直线BD过定点(a，0)解析：由得0，所以xa，或x，4分因为xBa，所以xB，则yBk1(xBa).6分由得x2a2k22(xa)20，得xa，或x，8分同理，得xD，yD，10分当时，xB，yB，kBD，13分所以BDAD，因为E2为圆，所以ADB所对圆E2的弦为直径，从而直线BD过定点(a，0).14分微专题22例题答案：.解法1设直线l1的方程为ykx1，联立椭圆方程，消去y，得(4k21)x28kx0.解得xM，yM.同理可得xN，yN.直线MN的斜率为，直线MN的方程为y，即yx，直线MN过定点.解法2同解法1，求出直线方程，
5、利用特值法求出定点解法3先由对称思想可知，直线MN过的定点位于y轴上，特值化易得直线MN过的定点为P.再证明如下：设直线l1的方程为ykx1，联立椭圆方程，消去y，得(4k21)x28kx0.解得xM，yM.同理可得xN，yN.所以kMP，kNP.所以kMPkNP.故直线MN过的定点为P.解法4设直线MN的方程为l：ykxm(m1)，将ykxm代入y21，得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而y1y2k(x1x2)2m.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.由题设AMAN
6、，即0.(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)110，化简得5m22m30，解得m1(舍)，m.所以直线MN的方程为ykx，过定点.变式联想变式1答案：.解析：方法同上通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C：1(ab0)上一点P(x0，y0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点则直线MN过定点.变式2答案：，其中xA，yA分别为点A的横、纵坐标解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN的方程为ykxn，由韦达定理找出n，k的关系比较两种做法，寻找每一种方法的合理性通过变式2引导同学们发现第二个结论
7、与第三个结论，结论2过椭圆C：1(ab0)上一点P(x0，y0)的两条直线分别交椭圆于M，N两点当kPMkPN，则直线MN过定点.发现并强调注意，此时.结论3当且x0y00时，直线MN的斜率为定值.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)证法1设T(9，m)，直线TA方程为，即y(x3)，直线TB方程为，即y(x3)分别与椭圆1联立方程，同时考虑到x13m，x23，解得M，N.当x1x2时，直线MN方程为令y0，解得x1.此时必过点D(1，0)；当x1x2时，直线MN方程为x1，与x轴交点为D(1，0)所以直线MN必过x轴上的一定点(1，0)证法2前与证法1同，若x1x2，则由及m0，得m2，此时直
8、线MN的方程为x1，过点D(1，0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的定点(1，0)证法3注意到kAMkBN，2，则kBMkBN，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM，BN斜率之积为定值，因此，直线MN必过x轴上的定点(1，0)x1，y0.串讲2答案：(1)C的方程为y21；(2)定点(2，1)解析：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故C的方程为y21.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直
9、，设l：xt，由题设知t0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为，.则k1k21，得t2，不符合题意从而可设l：ykxm(m1)，将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k，当且仅当m1时，0，欲使l：yxm，即y1(x2)所以l过定点(2，1)新题在线答案：(1)y21；(2)(x1)2(y1)22；(3)直线PQ过定点，定点为(1，1)解析：(1)由解得a，b1.所以椭圆E的标准方
10、程为y21.(2)设M(2，m)，由CDOM得kCD，则CD方程为y(x1)，即2xmy20.因为圆心H，则圆心H到直线CD的距离为d.圆半径为r，且，由d2r2，代入得m2.因为点M在x轴下方，所以m2，此时圆H方程为(x1)2(y1)22.(3)设PQ方程为：ykxb(b1)，A(0，1)，令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由直线AP与AQ的斜率之和为2得2，由y1kx1b，y2kx2b得2k2，联立方程得(12k2)x24kbx2b220，所以x1x2，x1x2代入得，(b1)(bk1)0，由b1得bk10，即b1k，所以PQ方程为ykx1kk(x1)1，所以直线PQ过定点，定点为(1，1)