1、1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行课后篇巩固提升必备知识基础练1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)解析由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,故选A.答案A2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,则不可能使l的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1
2、)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析若l,则需mn,即mn=0,根据选择项验证可知:A中,mn=-2;B中,mn=6;C中,mn=-1;D中,mn=0,故选ABC.答案ABC3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面的法向量,则()A.lB.lC.l或lD.l或l解析an=0,an,可知l或l.答案C4.已知直线l平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.解析直线l平面ABC,存在实数x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1
3、,0,-1),AC=(0,1,-1),(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),2=x,m=y,1=-x-y,m=-3.答案-35.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),nAC=0,nAD1=0,(x,y,z)(-1,1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,化简,得x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.平面ACD1的一个法向量n=(
4、1,1,1).6.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF平面ABC.证明如图,设PD=a,PE=b,PF=c,则PA=2a,PB=2b,PC=2c,所以DE=b-a,DF=c-a,AB=2b-2a,AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一的实数对(x,y),使e=xAB+yAC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2xDE+2yDF,因此e与DE,DF共面,即e平面DEF,又l平面DEF,所以l平面DEF.由l的任意性知,平面ABC平面DEF.关键能力提升练7.在正方
5、体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.无法确定解析建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).A1M=AN=2a3,Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,MN=-a3,0,2a3.MNn=0,MN平面BB1C1C.答案B8.(2020山东聊城高二期中)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,点M在EF上,且AM平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.
6、24,24,1解析连接OE(图略).设点M的坐标为(x,y,1).因为ACBD=O,所以O22,22,0.又E(0,0,1),A(2,2,0),所以OE=-22,-22,1,AM=(x-2,y-2,1).因为AM平面BDE,所以AMOE,则有x-2=-22,y-2=-22,解得x=22,y=22.所以点M的坐标为22,22,1.故选C.答案C9.(多选题)下列命题是假命题的为()A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面B.若p与a,b共面,则p=xa+ybC.若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B四点共面D.若P,M,A,B四点共面,则MP=xMA+yMB解析易知A,C为真命题;B中需满足
7、a,b不共线;D中需满足M,A,B三点不共线.答案BD10.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,12,已知,则x+y=.解析因为,所以uv.则x-1=1y=-212,即x=4,y=-14,故x+y=154.答案15411.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面内的三点,设平面的法向量a=(x,y,z),则xyz=.解析因为AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,又因为aAB=0,aAC=0,所以x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得x=23y,z=-43y.所以xyz=23yy-43y=23(-4).答案23(-4)12.(2
8、020河南郑州第一中学高三联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求BB1P的面积的最小值.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,3,0),C(0,3,0),D1(0,0,1),C1(0,3,1),E1,32,0,F12,3,0,G0,3,12,EF=-12,32,0,FG=-12,0,12.设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则nEF=0,nFG=0,即-12x+32y=0,-12x+12z=0,令x=3,则y=1,z=3,平
9、面EFG的一个法向量n=(3,1,3).设P(m,s,0)(0m1,0s3),则D1P=(m,s,-1),BP=(m-1,s-3,0).D1P平面EFG,nD1P,nD1P=3m+s-3=0,s=3-3m,易知BB1=1,SBB1P=12BB1BP=121(m-1)2+(s-3)2=124m2-2m+1=124(m-14)2+34,当m=14时,SBB1P取得最小值34.学科素养创新练13.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M12a,b,0.又PM平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得PM=mDB+nDD1,即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc),即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,则点P的坐标为0,b2,-nc.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.
