1、安徽省蚌埠市田家炳中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【详解】复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.2.数列2,5,11,20，x，47中的x等于（ ）A. 28B. 32C. 33D. 27【答案】B【解析】【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得的值.【详解】因为数列的前几项为，其中，可得，解
2、得，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.设，均为正实数，则三个数，( )A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于2【答案】D【解析】【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立，所以至少有一个不小于，故选D.4.在线性回归模型中，下列说法正确的是( )A. 是一次函数；B. 因变量是由自变量唯一确定的；C. 因变量除了受自变量的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误差e的产生；D. 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算
3、避免随机误差e的产生【答案】C【解析】解：线性回归模型中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数A错误选项B中，因变量不是由自变量唯一确定的，B错选项D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，因此D错只有选项C成立5.有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论是错误的，这是因为 （ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】【分析】当直线平行于平面时，这条直线与平面内的直线平行或者异面，得到答案.【详解】直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线，
4、大前提错误.当直线平行于平面时，这条直线与平面内的直线平行或者异面.故选：【点睛】本题考查了演绎推理，意在考查学生的推理能力.6.把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005 的箭头方向依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：归纳推理分析：根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，所以确定2005到2007的箭头方向可以把2005除以4余数为1，由此可以确定2005的位置和1的位置相同，然后就可以确定从2005到2007的箭头方向解答：解：1和5的位置相同，图中排序每四个一组循环，而2003除以4的余数为3，2005的位置和3的位置相同，20032005故选A点评
5、：此题主要考查了数字类的变化规律通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力7.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解8.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线
6、对称C. 函数在区间上是单调递增的D. 函数图象的对称中心为【答案】D【解析】【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.【详解】由图象可知A2，f（0）1，f（0）2sin1，且，f（x）2sin（x），f（）0且为单调递减时的零点，kZ，kZ，由图象知，又0，2，f（x）2sin（2x），函数f（x）的图象可由yAsinx的图象向左平移个单位得，A错，令2x，kZ，对称轴为x，则B错，令2x,则x，则C错，令2xk，kZ，则x，则D对，故选：D【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题9.若定义运算：，例如，则下列等式可能不成
7、立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：运算：的应用是：两数中计算结果为较大者结合平方运算的意义，所以，不可能成立的是“”，如-1与-2，选C考点：本题主要考查新定义，学习理解能力点评：简单题，关键是理解这种运算的实质“两数中计算结果为较大者”10.若函数是奇函数，为偶函数，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得f（1）+f（1）4，及，两式联立即可求得f（1）【详解】函数F（x）f（x）2x4是奇函数，F（1）+F（1）0，即f（1）2+f（1）20，则f（1）+f（1）4，为偶函数，G（1）G（1），即，则，由解得，故选：C【点睛】
8、本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f（1），f（1）的方程组是解题关键，属于基础题11.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（
9、 ）由图1和图2面积相等得；由可得；由可得；由可得A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图形进行计算【详解】由面积相等得，正确；在图3中，由三角形面积得，又，由得，所以，正确；，由得，所以，正确；由由得，所以，正确四个推理都正确故选：A【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论本题考查数学文化，激发学生的学习积极性12.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题意可设，故四边形是平行四边形，且由双曲线的定义可得：
10、，由余弦定理可得，即，借助平行四边形的性质可得，即，故双曲线的离心率，应选答案B点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立方程的依据从而使得问题获解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.若，其中、，是虚数单位，则_.【答案】5【解析】解：因为，则514.若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积_【答案】【解析】试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的
11、三个小三角形的面积之和，从而可得公式，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式考点：1合情推理；2简单组合体体积（多面体内切球）【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决15.已知轴为曲线的切线，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设轴与曲线的切点为，由题意结合导数的几何意义可得，解方
12、程即可得解.【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设出圆锥的高为，底面半径为，在截面中，由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D，接着由三角形的相似求得、三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为，底面半径为，在截面图中，根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，则又，即，圆锥体积为，令可得，则时，；时，在单调递减，在单调递增，则.故答案为：.【点睛】本题考查了球的外切问
13、题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.实数取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数的点在复平面的第四象限？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z是实数时，解得；（2）当复数z是虚数时，解得；（3）当复数z是纯虚数时，且，解得；（4）当复数z表示的点位于第四象限时，且,解得.试题解析：解：（1）当，即时，复数z是实数；（2）当，即时，复数z是虚数；（3）当，且时，即时，复数z纯虚数；（4）当且,即时
14、，复数z表示的点位于第四象限考点：复数的概念及几何意义.18.学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：损坏餐椅数未损坏餐椅数总计学习雷锋精神前50150200学习雷锋精神后30170200总计80320400求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？请说明是否有以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？参考公式：，【答案】（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是和初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关（2）有的把握认为损毁餐椅
15、数量与学习雷锋精神有关【解析】【详解】分析：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是，由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关根据对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作的列联表，求出的观测值k的值为，再根据临界值表，可进行判断详解：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是，由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关根据表格：损坏餐椅数未损坏餐椅数总计学习雷锋精神前50150200学习雷锋精神后30170200总计80320400假设：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则应该很小根据题中的列联表得，有的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关点睛：本题主
16、要考查读图表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题19.（1）求证：已知，求证：； （2） 已知：ABC三条边分别为. 求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用分析证明法得到，得到证明.（2）利用分析证明法得到，根据三角形边的关系得到证明.【详解】（1）要证原不等式成立，只需证：，只需证：，只需证：，即证20 18，上式显然成立，原不等式成立. （2） 要证：成立，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证： ，是ABC的三条边，成立，原不等式成立.【点睛】本题考查了分析法证明，意在考查学生的逻辑推理能力.20.已知数列的首项，.（1）证
17、明：数列是等比数列；（2）数列的前项和.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用数列递推式，整理后两边取倒数，再两边减去1，即可证得数列是等比数列；（2）利用第（1）题的结论，求出，进而得到，用分组求和法，错位相减法，求出.【详解】解：（1），又，数列是以首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，.设，则，由得，.又.数列的前项和.【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.21.已知函数.（是自然对数的底数）（1）求的单调递减区间；（2）若函数，证明在上只有两个零点.（参考数据：）【答案】（1）（kZ）（2）见解析.【解
18、析】【分析】（1）由f（x）0得，利用正弦函数的单调性质可得f（x）的单调递减区间；（2）依题意可得g（x）ex（sinx+cosx）2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个零点，从而可证得结论成立【详解】（1）f（x）exsinx，定义域为R.由f（x）0得，解得（kZ）f（x）的单调递减区间为（kZ）（2）g（x）ex（sinx+cosx）2，g（x）2excosxx（0，），当时，g（x）0；当时，g（x）0g（x）在上单调递增，在上单调递减，又g（0）120，g（）e20，g（x）在（0，）上图象大致如右图，使得g（x1）0，
19、g（x2）0，且当x（0，x1）或x（x2，）时，g（x）0；当x（x1，x2）时，g（x）0g（x）在（0，x1）和（x2，）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增g（0）0，g（x1）0，g（x2）0，又g（）20，由零点存在性定理得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个零点，函数g（x）在（0，）上有两个零点【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，考查推理证明及综合运算能力，该题属于难题22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）， 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，(2，0)，求的值.【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）根据参数方程消去参数得到椭圆方程，利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入椭圆方程，得到，计算得到答案.【详解】（1）曲线的参数方程消去参数得， ，故曲线的普通方程为.，直线的直角坐标方程为. （2）设直线的参数方程为(为参数)，将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，.点(2，0)在直线上，.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
