1、陕西省安康市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知i是虚数单位，则等于( )A1+2iB12iC1+2iD12i2设全U=1，2，3，4，5，A=1，2，B=2，3，4，则（UA）B( )A3，4B3，4，5C2，3，4，5D1，2，3，43已知向量=（2，1），=（1，k），=0，则实数k的值为( )A2B2C1D14已知角的终边在第二象限，且sin=，则tan等于( )ABCD5“x24x5=0”是“x=5”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6在等差数列an中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差
2、d的值为( )A1B2C2D17设a=log，b=log，c=（）0.3，则( )AacbB bcaCbacDcba8执行如图程序框图，输出的结果为( )A20B30C42D569一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )ABC2D10已知函数（f（x）=sin（x+）（其中0，|图象相邻对称轴的距离为，一个对称轴中心为（，0），为了得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象( )A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲
3、线C的离心率为( )ABCD12已知x1、x2是函数f（x）=3的两个零点，若ax1x2，则f（a）的值是( )Af（a）=0Bf（a）0Cf（a）0Df（a）的符号不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=，则f（f（2）=_14设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是_15设不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为_16在数列an中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（nN+）的个位数，则a2015=_三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3
4、sinA=7sinC，cosB=（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b18某公司对员工进行身体素质综合素质，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，成绩为优秀的有30人（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的员工中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，求抽取两人刚好是一男一女的概率19已知三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=BB1，ABBC，BB1平面ABC，D为AC的中点，E为CC1的中点（1）求证AC1平面BDE；（2）求证：AC1平面A1BD20已知函
5、数（1）如果a0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围21已知椭圆C：+=1，（ab0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l：x=t，使得l与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由四、选修4-1，几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2
6、=DMAC+DMAB五、选修4-4：坐标系与参数方程23平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为=2sin（1）求C1和C2的普通方程；（2）其C1和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程六、选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（）若a=1，解不等式f（x）4；（）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围陕西省安康市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知i是虚数单位，则等于( )A1+2iB12iC1+2iD12i考点：复数代数形式的乘除
7、运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算进行化简即可解答：解：=，故选：D点评：本题主要考查复数的计算，比较基础2设全U=1，2，3，4，5，A=1，2，B=2，3，4，则（UA）B( )A3，4B3，4，5C2，3，4，5D1，2，3，4考点：并集及其运算；补集及其运算 专题：计算题分析：根据并集、补集的意义直接求解即得解答：解：U=1，2，3，4，5，A=1，2，CUA=3，4，5，（CUA）B=2，3，4，5，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较容易3已知向量=（2，1），=（1，k），=0，则实数k的值为( )A2B2C1D1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应
8、用分析：利用向量垂直，数量积为0，得到关于k的方程解之解答：解：向量=（2，1），=（1，k），=0，所以2+k=0，解得k=2；故选：A点评：本题考查了向量垂直的性质以及向量数量积的运算，属于基础题4已知角的终边在第二象限，且sin=，则tan等于( )ABCD考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：由终边为第二象限角，根据sin的值，求出cos的值，即可确定出tan的值即可解答：解：角的终边在第二象限，且sin=，cos=，则tan=故选：D点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5“x24x5=0”是“x=5”的( )A充分不必要条件
9、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：由x24x5=0得x=1或x=5，“x24x5=0”是“x=5”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础6在等差数列an中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差d的值为( )A1B2C2D1考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：已知两式相减可得d的方程，解方程可得解答：解：在等差数列an中，a1+a3=10，a4+a6=4，两式相减可得（a4+a6）（a1+a3）=6d=410
10、=6，解得d=1故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题7设a=log，b=log，c=（）0.3，则( )AacbBbcaCbacDcba考点：对数值大小的比较 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由对数函数与指数函数的性质可知a=loglog=1，b=log0，0c=（）0.3（）0.3=1解答：解：a=loglog=1，b=log0，0c=（）0.3（）0.3=1；故acb；故选A点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性的应用，属于基础题8执行如图程序框图，输出的结果为( )A20B30C42D56考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每
11、次循环得到的S，n，T的值，当S=25，T=30时，满足条件TS，退出循环，输出T=30解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=0，T=0不满足条件TS，S=5，n=2，T=2不满足条件TS，S=10，n=4，T=6不满足条件TS，S=15，n=6，T=12不满足条件TS，S=20，n=8，T=20不满足条件TS，S=25，n=10，T=30满足条件TS，退出循环，输出T=30，故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基本知识的考查9一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )ABC2
12、D考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出解答：解：此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，V=点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题10已知函数（f（x）=sin（x+）（其中0，|图象相邻对称轴的距离为，一个对称轴中心为（，0），为了得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象( )A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位考点
13、：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由周期求得，根据图象的对称中心求得的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律得出结论解答：解：因为函数（f（x）=sin（x+）（其中0，|图象相邻对称轴的距离为，所以函数f（x）的周期为，所以=2，又一个对称轴中心为（，0），所以sin2=0，|，所以=，所以f（x）=sin（2x+）=cos（+2x+）=cos（2x）=cos2（x），所以只需要将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到g（x）=cosx的图象故选：D点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，
14、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用条件可得A（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论解答：解：双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，A（）在双曲线上，=c（c，2c）在双曲线上，c46a2c2+a4=0e46e2+1=0e1e=故选B点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算
15、能力，属于中档题12已知x1、x2是函数f（x）=3的两个零点，若ax1x2，则f（a）的值是( )Af（a）=0Bf（a）0Cf（a）0Df（a）的符号不确定考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：将函数的零点问题转化为求两个函数的交点问题，通过图象读出g（a），h（a）的大小，从而解决问题解答：解：令f（x）=0，ex=3x，令g（x）=ex，h（x）=3x，如图示：，由图象可得：xx1时，ex3x，f（x）=，f（a）=，ea3a0，a0时：f（a）0，当a0时：ea3a0，a0，f（a）0，故选：D点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想，是一道基础题
16、二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=，则f（f（2）=0考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由分段函数f（x）=，由内向外依次求函数值即可解答：解：f（x）=，f（2）=（2）2+2（2）=0，f（f（2）=f（0）=2001=0；故答案为：0点评：本题考查了分段函数的应用，由内向外依次求函数值，属于基础题14设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是6考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：通过平均数求出x，然后利用方差公式求解即可解答：解：由=34，解得x=32所以方差为：=6故答案为：6点评：本题考查均
17、值与方差的计算，基本知识的考查15设不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为25考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：作出区域D，解方程组可得顶点的坐标，可得两直角边的长度，由面积公式可得解答：解：作出不等式组表示的平面区域为D（如图阴影），易得A（6，2），B（4，2），C（4，3），可得AB=10，BC=5，由三角形的面积公式可得区域D的面积S=105=25故答案为：25点评：本题考查基本不等式与平面区域，涉及三角形的面积公式和两点间的距离公式，属中档题16在数列an中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（nN+）的个位数，则a2015=2考
18、点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过计算前几项，可得从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，进而可得结论解答：解：a1a2=27=14，a3=4，74=28，a4=8，48=32，a5=2，82=16，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，又2015=3356+5，a2015=a5=2，故答案为：2点评：本题考查数列的递推公式，找出周期是解决本题的关键，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinA=7sinC，cosB=（
19、1）求角A的大小；（2）若c=3，求b考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）由已知cosB的值和同角三角函数关系式可求sinB的值，又3sinA=7sinC，利用三角形内角和定理和两角和的正弦函数公式化简可得3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，整理可求tanA，结合A的范围即可得解（2）由3sinA=7sinC结合正弦定理可得3a=7c，又c=3，可求a的值，由余弦定理即可求b的值解答：解：（1）由cosB=可得sinB=，又2sinA=7sinC，所以：3sinA=7sin（A+B），3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，可得：tanA=，
20、A=7分（2）由3sinA=7sinC结合正弦定理可得3a=7c，又c=3，所以，a=7，b2=a2+c22accosB=9+492=25所以解得：b=512分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的正弦函数公式的综合应用，属于基本知识的考查18某公司对员工进行身体素质综合素质，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，成绩为优秀的有30人（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的员工中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，求抽取两人刚好是一
21、男一女的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：（1）设该年级共n人，从而可得=，再求a；（2）用分层抽样的方法，在合格的员工中按男女抽取一个容量为5的样本，则男员工数为2人，记为A，B；女员工数为3人，记为a，b，c；列出所有基本事件，从而求概率解答：解：（1）设该年级共n人，由题意得，=，解得，n=500；则a=500（180+120+70+20+30）=80；（2）用分层抽样的方法，在合格的员工中按男女抽取一个容量为5的样本，则男员工数为2人，记为A，B；女员工数为3人，记为a，b，c；从中任选两人的抽取方法有：（A，B），（A，a），
22、（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）；共有10种情况，其中一男一女的共有6种，故概率=点评：本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求法，属于基础题19已知三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=BB1，ABBC，BB1平面ABC，D为AC的中点，E为CC1的中点（1）求证AC1平面BDE；（2）求证：AC1平面A1BD考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由已知根据中位线定理可得DEAC1，又DE平面BDE，AC1平面BDE，由线面平行的判定定理即可证明（2）D为AC的中点，可证
23、AA1D=CAC1，CAC1+ADA1=90，从而可得AC1A1D，又AC1BD，即可证明AC1平面A1BD解答：证明：（1）D为AC的中点，E为CC1的中点，DEAC1，又DE平面BDE，AC1平面BDE，AC1平面BDE；6分（2）D为AC的中点，则tanAA1D=，tan，则AA1D=CAC1，那么CAC1+ADA1=90，AC1A1D，又AC1BD，所以AC1平面A1BD12分点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题20已知函数（1）如果a0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x1时，不等式恒成立，求实
24、数k的取值范围考点：实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）因为，x0，x0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a0）上存在极值，能求出实数a的取值范围（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围解答：解：（1）因为，x0，则，当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a0）上存在极值，所以解得（2）不等式，即为，记，所以=令h（x）=xlnx，则，x1，h（x）0，
25、h（x）在1，+）上单调递增，h（x）min=h（1）=10，从而g（x）0，故g（x）在1，+）上也单调递增，所以g（x）min=g（1）=2，所以k2点评：本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用21已知椭圆C：+=1，（ab0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l：x=t，使得l与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专
26、题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得：，解得即可（2）当lx轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G猜测常数t=8即存在定直线l：x=t，使得l与AN的交点G总在直线BM上当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明解答：解：（1）椭圆C：+=1，（ab0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上，解得a2=16，b2=4，
27、c=椭圆C的方程为（2）当lx轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，分别化为：=0，=0联立解得G猜测常数t=8即存在定直线l：x=t，使得l与AN的交点G总在直线BM上证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）联立，化为（1+4k2）x216k2x+16k216=0，=（12，t），=（x2+4，y2），三点A，N，G共线t（x2+4）12y2=0，=由于=（4，t），=（x14，y1），要证明三点B，M，G共线即证明t（x14）4y1=0即证明4k（x12）=0，而3（x22）（x14）（x12）（x2+4）=2x1x21
28、0（x1+x2）+32=0，4k（x12）=0成立存在定直线l：x=8，使得l与AN的交点G总在直线BM上综上可知：存在定直线l：x=8，使得l与AN的交点G总在直线BM上点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题四、选修4-1，几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DMAC+DMAB考点：与圆有关的比例线段 专题：证明题；直线与圆分析
29、：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BEEC，从而得出DE=BD=，由此证出ODEODB，得OED=OBD=90，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DMDH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DMAC+DMAB成立解答：解：（1）连接BE、OE，则AB为圆0的直径，AEB=90，得BEEC，又D是BC的中点，ED是RtBEC的中线，可得DE=BD又OE=OB，OD=OD，ODEODB可得OED=OBD=90，因此，O、B、D、E四点共圆
30、；（2）延长DO交圆O于点H，DEOE，OE是半径，DE为圆O的切线可得DE2=DMDH=DM（DO+OH）=DMDO+DMOHOH=，OD为ABC的中位线，得DO=，化简得2DE2=DMAC+DMAB点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题五、选修4-4：坐标系与参数方程23平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为=2sin（1）求C1和C2的普通方程；（2）其C1和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参
31、数方程分析：（1）利用三角函数的运算公式化简cos2+sin2=1，即可得出普通方程（2）C1的普通方程：（x1）2+y2=1，曲线C2的方程为x2+y2=2y相减得出y=x，AB的垂直平分线的方程：x+y=1，利用极坐标方程求解解答：解：（1），（为参数），cos2+sin2=1，C1的普通方程：（x1）2+y2=1，sin曲线C2的方程为=2sin=即曲线C2的方程为x2+y2=2y（2）C1的普通方程：（x1）2+y2=1，曲线C2的方程为x2+y2=2y相减得出y=x，交点为A（0，0），B（1，1），中点为（，），y=x+1，AB的垂直平分线的方程：x+y=1，（）=1，C1和C2公
32、共弦的垂直平分线的极坐标方程：cos（）=点评：本题考查了圆直线的参数方程，极坐标方程的相互转化，属于中档题，关键是确定方程的形式六、选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（）若a=1，解不等式f（x）4；（）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式分析：（）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得解答：解：（）当a=1时，f（x）=|3x1|+x+3，当x时，f（x）4可化为3x1+x+34，解得 ；当x时，f（x）4可化为3x+1+x+34，解得 综上可得，原不等式的解集为x|，（）f（x）=|3x1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即3a3点评：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于基础题
