1、2.3.2两条直线的交点坐标A级必备知识基础练1.下列直线与直线x+y=0只有一个交点的是()A.y=-x+3B.-x-y+12=0C.x-y+2=0D.2x+2y-5=02.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为()A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(-3,-2)3.(2022河北张家口高二期末)关于x,y的方程组2x-ay+1=0,x+2y-1=0没有实数解,则实数a的值是()A.4B.2C.-4D.-24.已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是()A.-6B.6C.2D.-25.三条直线x=2,x-y-
2、1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为.6.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线x+y=1平行的直线方程为,与直线x+y=1垂直的直线方程为.7.已知两直线l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0.(1)判断两直线是否相交,若相交,求出其交点;(2)求过直线l1与l2的交点且斜率为-2的直线方程.B级关键能力提升练8.任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.若已知ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则三角形外心的坐标是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-2,0)D.(0,-2)9.(20
3、22黑龙江哈尔滨三中高二月考)无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(3,1)D.(3,-1)10.(2022浙江“精诚联盟”高二联考)若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0交点在第一象限,则实数k的取值范围为()A.-2,12B.-12,0C.-,-12(2,+)D.(-,-2)12,+11.ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直线方程分别为x-2y=0,x+5y+10=0,则BC所在直线的方程是()A.x+4y=0B.5x-y=28C.3x+5y=0D.5x-3y=2812.(多选题)若三条直
4、线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为()A.1B.-1C.2D.-213.已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是.14.已知ABC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),则顶点C的坐标为.15.(2022湖北武汉第一中学高二月考)若ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.(1)求点C的坐标;(2)求直线BC的方程.C级学科素养创新练16.(2022江苏南京外国语高二月考)P1(a1,b1),P2(
5、a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使x=1,y=2是方程组的一组解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解17.已知直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),求直线l的一般式方程.参考答案2.3.2两条直线的交点坐标1.C由题可知,A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项中的直线与x+y=0相交.故选C.2.B解方程组2x-y-1=0,
6、x+3y-11=0,得x=2,y=3.故直线l1与l2的交点坐标为(2,3).3.C依题意得直线2x-ay+1=0与直线x+2y-1=0平行,且a0.所以2a=-12,解得a=-4.故选C.4.B由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2).将点(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6.5.-2设三条直线交于一点P,则联立x=2,x-y-1=0,解得x=2,y=1,即P点坐标为(2,1).直线x+ky=0过点P,即2+k=0,解得k=-2.6.x+y-3=0x-y-1=0解方程组2x-y-3=0,4x-3y-5=0,得x=2,y=1,所以两直线交点坐标为(2,1).由于直线x+
7、y=1的斜率为k=-1,因此过交点且与直线x+y=1平行的直线方程为y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.过交点且与直线x+y=1垂直的直线方程的斜率为1,则所求直线方程为y-1=x-2,整理得x-y-1=0.7.解(1)31-11,两直线相交.解方程组3x-y+4=0,x+y-4=0,解得x=0,y=4,即两直线交点为(0,4).(2)(方法1)所求直线斜率为-2,且过直线l1与l2的交点,则所求的直线方程为y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0.(方法2)显然x+y-4=0不是所求方程,可设所求直线方程为3x-y+4+(x+y-4)=0(R),整理得(3+)x+(-1)y+4
8、(1-)=0,-3+-1=-2,解得=5.整理得所求直线方程为2x+y-4=0.8.BA(-4,0),B(0,4),则线段AB的中点坐标为(-2,2).线段AB的垂直平分线过点(-2,2)及原点,线段AB的垂直平分线方程为x+y=0.又外心在欧拉线x-y+2=0上,联立x+y=0,x-y+2=0,解得x=-1,y=1.故三角形ABC的外心为(-1,1).9.D直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则已知直线一定过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.解方程组2x+y-5=0,x-y-4=0,解得x=3,y=-1.所以所求定点为(3,-1).故选D.10.C当k=13时
9、,kx-k+y+1=x3+y+23=0,与x+3y-3=0平行,不符合题意,k13.解方程组kx-k+y+1=0,x+3y-3=0,得x=3(2-k)1-3k0,y=2k+13k-10,k2或k-12.故选C.11.C两边AB,AC上的高线方程分别为x+5y+10=0与x-2y=0,它们的斜率分别为-15,12,故AB和AC的斜率分别为5,-2,AB和AC的方程分别为y-5=5(x-1),y-5=-2(x-1).整理为一般式可得5x-y=0,2x+y-7=0.解方程组5x-y=0,x-2y=0,得x=0,y=0,即B(0,0).同理,解方程组2x+y-7=0,x+5y+10=0,得x=5,y=
10、-3,即C(5,-3).故BC所在直线的方程为y=-3-05-0x,整理得3x+5y=0.故选C.12.AD由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行.直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行,直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行.直线x-y+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a,a=1或a=-2.故选AD.13.(-1,0)当直线AB和直线x+y+1=0垂直时,线段AB的距离最短,此时直线AB的方程的斜率为k=1,所以直线AB的直线方程为y=x+1.解方程组x+y+1=0,x-y+1=0
11、,得x=-1,y=0,即点B的坐标是(-1,0).14.(6,-6)A(-10,2),B(6,4),垂心H(5,2),kBH=2-45-6=2.直线BH与直线AC垂直,则kAC=-12.故直线AC的方程为y-2=-12(x+10),整理得x+2y+6=0.又kAH=0,BC所在直线与x轴垂直,故直线BC的方程为x=6,联立直线AC与BC的方程得点C的坐标为C(6,-6).15.解(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,所以kAC=-2.又因为A(5,1),所以直线AC的方程为y-1=-2(x-5),整理得2x+y-11=0.解方程组2x+y-11=0,2x-y-5=0,得x=
12、4,y=3,所以点C的坐标为(4,3).(2)设B(a,b),因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,所以a-2b-5=0,2a+52-b+12-5=0,解得a=-1b=-3,所以B(-1,-3),kBC=3+34+1=65.所以直线BC的方程为y-3=65(x-4),整理得6x-5y-9=0.16.B由题意b1=ka1+1,b2=ka2+1,则a1b2-a2b1=a1(ka2+1)-a2(ka1+1)=a1-a2.直线y=kx+1的斜率存在,a1a2,a1-a20,方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1总有唯一解.故A,D错误,B正确;若x=1,y=2是方程组的一组解,则
13、a1+2b1=1,a2+2b2=1,则点(a1,b1),(a2,b2)在直线x+2y=1,即y=-12x+12上,但已知这两个点在直线y=kx+1上,这两条直线不是同一条直线,x=1,y=2不可能是方程组的一组解,故C错误.故选B.17.解设l与l1的交点坐标为A(a,y1),l与l2的交点坐标为B(b,y2),y1=-4a-3,y2=3b5-1,由中点坐标公式得a+b2=-1,y1+y22=2,即a+b=-2,(-4a-3)+3b5-1=4,解得a=-2,b=0.将a=-2,b=0代入y1=-4a-3,y2=3b5-1得y1=5,y2=-1,A(-2,5),B(0,-1),l的方程为y-5-1-5=x+20-(-2),整理得3x+y+1=0.