1、2016年辽宁省部分重点中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题的选项中只有一项是正确的1已知集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0，则AB=（）A（0，4）B（3，4）C（0，3）D（3，4）2设i是虚数单位，若复数a+（aR）是纯虚数，则a=（）A2B1C0D13在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A40B42C43D454在ABC中，C=90，=（k，1），=（2，3），则k的值是（）A5B5CD5为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1）
2、，（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A60B120C150D3006已知点（a，）在幂函数f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数f（x）是（）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数7正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD8已知ABC为锐角三角形，命题p：不等式logcosC0恒成立，命题q：不等式logcosC0恒成立，则复合命题
3、pq、pq、p中，真命题的个数为（）A0B1C2D39设实数x，y满足不等式组，（2，1）是目标函数z=ax+y取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C（，2）D（，210已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则ABF为（）A锐角B直角C钝角D不确定112016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这六名考试依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何两人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为（）A108B120C132D14412已知函数f（x
4、）=，若方程f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A（2，0）B（2，1）C（，0）D（，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）14在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是15己知a（3a）0，那么的最小值是16三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17在公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9（1）求a
5、1的值；（2）若函数y=a1sin（），0的一部分图象如图所示，M（1，a1），N（3，a1）为图象上的两点，设MON=，其中O为坐标原点，0，求cos（）的值18甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：甲校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数34714分组110，120）120，130）130，140）140，150频数17x42乙校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数1289分组
6、110，120）120，130）130，140）140，150频数1010y4（）计算x，y的值；（）若规定考试成绩在120，150内为优秀，由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校乙校总计优秀非优秀总计（）若规定考试成绩在120，150内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率参考公式：K2=其中n=a+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.100.050.010k02.7063.8416.63519如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ACAB，ADD
7、C，DAC=60，PA=AC=2，AB=1（1）求二面角APBC的余弦值（2）在线段CP上是否存在一点E，使得DEPB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由20椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（ab0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，1）（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）=（1）判断f（x）在（0，+）的单调性；（2）若x0，证明：（ex1）ln（x+1）x2选修4
8、-1：几何证明选讲22如图，PA、PC切O于A、C，PBD为O的割线（1）求证：ADBC=ABDC；（2）已知PB=2，PA=3，求ABC与ACD的面积之比选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，已知O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交O于A，交直线l于B（1）写出O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程选修4-5：不等式选讲24不等式|x|的解集为x|nxm（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|m，|2ab|n，求证：|b|2016年辽宁省部分重点中学高考数学模拟试卷（理科）
9、（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题的选项中只有一项是正确的1已知集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0，则AB=（）A（0，4）B（3，4）C（0，3）D（3，4）【考点】并集及其运算【分析】利用并集的性质求解【解答】解：集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0=x|0x4，AB=x|3x4=（3，4）故选：B2设i是虚数单位，若复数a+（aR）是纯虚数，则a=（）A2B1C0D1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的运算法则与纯虚数的定义即可得出【解答】解：a+=a+=a+i，若复数a+（aR）是纯虚数，则a=0，故选：C3在等
10、差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A40B42C43D45【考点】等差数列的性质【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案【解答】解：在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，a4+a5+a6=3a5=42故选B4在ABC中，C=90，=（k，1），=（2，3），则k的值是（）A5B5CD【考点】平面向量的坐标运算【分析】先根据向量的坐标运算求出=（k2，2），再根据C=90得到=0，即可求出k的值【解答】解：=（k，1），=（2，3），=（k2，2），C=9
11、0，=0，2（k2）+3（2）=0，解得k=5，故选：A5为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A60B120C150D300【考点】线性回归方程【分析】根据回归方程求出即可得出答案【解答】解：将代入回归方程得=0.620+48=60y1+y2+y3+y4+y5=5=300故选D6已知点（a，）在幂函数f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数f（x）是（）A
12、奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义与性质，列出方程求出a与b的值，求出f（x）的解析式，即可得出结论【解答】解：幂函数f（x）=（a26a+10）xb的图象经过点（a，），a26a+10=1且ab=，解得a=3，b=1；f（x）=x1在定义域（，0）（0，+）的奇函数故选：A7正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点A，
13、E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C8已知ABC为锐角三角形，命题p：不等式logcosC0恒成立，命题q：不等式logcosC0恒成立，则复合命题pq、pq、p中，真命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】复合命题的真假【分析】根据A、B、C的范围，求出sinBsin（A）=cosA0，从而求出d的范围，进而判断出命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1cosC0，0A，0B，A+B，0AB，sinBsin（A）=cosA0，10，logcosC0，故命题p是真命题，命题q是假命题；则复合命题
14、pq真、pq假、p假，真命题的个数是1个；故选：B9设实数x，y满足不等式组，（2，1）是目标函数z=ax+y取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C（，2）D（，2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用2，1）是目标函数z=ax+y取最大值的唯一最优解，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）则A（1，0），B（2，1），C（0，5）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，当a=
15、0时，y=z在C的截距最大，此时不满足条件，当a0时，直线y=ax+z，在C处的截距最大，此时不满足条件当a0时，直线y=ax+z，要使，（2，1）是目标函数z=ax+y取最大值的唯一最优解，则y=ax+z在B处的截距最大，此时满足目标函数的斜率a小于直线BC的斜率2，即a2，故选：C10已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则ABF为（）A锐角B直角C钝角D不确定【考点】抛物线的简单性质【分析】求导数，确定过A的切线方程，解出B的坐标，求出，的坐标，可得计算=0，即可得出结论【解答】解：由x2=4y可得y=x2，y=x，设A（x0
16、，），则过A的切线方程为y=x0（xx0），令y=0，可得x=x0，B（x0，0），F（0，1），=（x0，），=（x0，1），=0，ABF=90，故选：B112016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这六名考试依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何两人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为（）A108B120C132D144【考点】计数原理的应用【分析】利用间接法，先求出3位男生中任何两人都不能连续出场的种数，再其排除女生甲排第一个的种数，问题得以解决【解答】解：把3名男生插入到3名女生所成的4个间隔中，故有A33A44=1
17、44种，女生甲排第一个，A22A33=12种，故女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为14412=132种，故选：C12已知函数f（x）=，若方程f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A（2，0）B（2，1）C（，0）D（，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围【解答】解：令t=f（x），则原函数方程等价为t2+bt+=0作出函数f（x）的图象如图：图象可知当由0t1时，函数t=f（x）有3个交点所以要使f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则等价为有两
18、个根t1，t2，且0t11，0t21令g（t）=t2+bt+，则由根的分布（如下图）可得，即，即，解得b1，则实数b的取值范围是（，1）故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为70（结果用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大【解答】解：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大
19、的项是第5项，最大值为=70故答案为：7014在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是14【考点】循环结构【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的C，A，B的值，当B=0时不满足条件B不等于零，退出循环，输出A的值为14，即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得A=2016，B=98满足条件B不等于零，执行循环体，C=56，A=98，B=56满足条件B不等于零，执行循环体，C=42，A=56，B=42满足条件B不等于零，执行循环体，C=14，A=42，B=14满足条件B不等于零，执行循环体，C=0，A=14，B=0不满足条件B不等于零，退出循环，输出A的值为14故答案为
20、：1415己知a（3a）0，那么的最小值是【考点】基本不等式【分析】由题意变形已知式子可得原式= a+（3a）（）=（10+），由基本不等式可得【解答】解：a（3a）0，= a+（3a）（）=（10+）（10+2）=当且仅当=即a=时取等号，原式的最小值为，故答案为：16三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于【考点】球的体积和表面积【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解体积【解答】解：根据已知中侧
21、棱SA平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，ABC是边长为的正三角形，ABC的外接圆半径r=1，球心到ABC的外接圆圆心的距离d=SA=，故球的半径R=2三棱锥SABC外接球的体积为：23=故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17在公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9（1）求a1的值；（2）若函数y=a1sin（），0的一部分图象如图所示，M（1，a1），N（3，a1）为图象上的两点，设MON=，其中O为坐标原点，0，求cos（）的值【考点】两角和与差的余弦函数；由y=A
22、sin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）由条件利用等差中项、等比数列的定义，求得a1的值（2）由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，MON中，再利用余弦定理求得cos的值，再利用两角差的余弦公公式，求得cos（）的值【解答】解：（1）公比为2的等比数列an中，a2与a5的等差中项是9，=9，a2=2=2a1，a1=（2）若函数y=a1sin（）=sin（），0的一部分图象如图所示，M（1，），N（3，）为图象上的两点，结合五点法作图可得（1）+=，求得=，故y=sin（）MON中，由MON=，其中O为坐标原点，利用余弦定理可得cos=，再结合0，可得=，求cos（）=cos（）=c
23、os=cos（）=coscos+sinsin=18甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：甲校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数34714分组110，120）120，130）130，140）140，150频数17x42乙校：分组70，80）80，90）90，100）100，110）频数1289分组110，120）120，130）130，140）140，150频数1010y4（）计算x，y的值；（）若规定考试成
24、绩在120，150内为优秀，由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校乙校总计优秀非优秀总计（）若规定考试成绩在120，150内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率参考公式：K2=其中n=a+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.100.050.010k02.7063.8416.635【考点】独立性检验的应用【分析】（）关键分层抽样的特点计算x，y；（）关键22列联表以及参考公式计算k2，与临界表比较多的答案；（）利用条件概率公式解答【解答】解：（） 从甲校抽取
25、110=60（人），从乙校抽取110=50（人），故x=9，y=6甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110（）表格填写如下，K2=2.8292.706，故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异（ III）设两班各取一人，有人及格为事件A，乙班学及格为事件B，根据条件概率，则所求事件的概率P（B|A）=19如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ACAB，ADDC，DAC=60，PA=AC=2，AB=1（1）求二面角APBC的余弦值（2）在线段CP上是否存在一点E，使得DEPB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的
26、平面角及求法【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，则法向量的夹角与二面角的大小相等或互补；（2）作EFAC于F，则EF=FC，设EF=h，求出E点坐标得出的坐标，令=0解出h，从而得出CE【解答】解：（1）以A为坐标原点，以AB，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（，0）=（0，2，2），=（1，0，2），=（0，2，0）显然=（0，2，0）为平面PAB的法向量设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则， =0，令z=1，得=（2，1，1）=2，|=，|=2cos，=二面角
27、APBC的余弦值为（2）过E作EFAC于F，EFPA，EF=FC设EF=h，则E（0，2h，h）=（， h，h），=（1，0，2）DEPB，=2h=0，解得h=CE=h=20椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（ab0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，1）（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1，y1），B（x2，
28、y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值【解答】解：（1）椭圆C2： +=1（ab0）的一个焦点坐标为（，0），则c=，即有a2b2=5，设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1， =1，两式相减的， +=0，由于x1+x2=4，y1+y2=2，则有kAB=1，由解得，a=，b=则椭圆C2的方程为=1；（2）设P（x0，y
29、0），M（x1，y1），N（x2，y2），则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，由=+2，可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）=10+4（x1x2+2y1y2）=10x1x2+2y1y2=0，=，即kOMkON=，直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为21已知函数f（x）=（1）判断f（x）在（0，+）的单调性；（2）若x0，证明：（ex1）l
30、n（x+1）x2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；（2）原不等式等价于，要证原不等式成立，只需要证明当x0时，xex1，令h（x）=exx1，利用导数和最值得关系即可证明【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（1，0）（0，+）f（x）=，设g（x）=ln（1+x），g（x）=0，g（x）在（0，+）为减函数，g（x）g（0）=0，f（x）0，f（x）在（0，+）为减函数；（2）（ex1）ln（x+1）x2等价于，=，原不等式等价于，由（1）知，f（x）=是（0，+）上的减函数，要证原不等式成立，只需要证明当x0时，xe
31、x1，令h（x）=exx1，h（x）=ex10，h（x）是（0，+）上的增函数，h（x）h（0）=0，即xex1，f（x）f（ex1），即=，故（ex1）ln（x+1）x2选修4-1：几何证明选讲22如图，PA、PC切O于A、C，PBD为O的割线（1）求证：ADBC=ABDC；（2）已知PB=2，PA=3，求ABC与ACD的面积之比【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明PABPDA，可得=，同理可得=，问题得以证明，（2）根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得=，问题得以解决【解答】证明：（1）PA是O的切线，由弦切角定理得PAB=ADB，APB为PAB与PAD的公共角，PABPD
32、A，=，同理=，又PA=PC，ADBC=ABDC；（2）由圆的内接四边形的性质得ABC+ADC=，SABC=ABBCsinABC，SADC=ADDCsinADC，=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，已知O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交O于A，交直线l于B（1）写出O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得O及直线l的极坐标方程（2）设动点M（，），A（ 1，）、B（ 2，），则由题意可得，化简可得动点
33、M的轨迹方程【解答】解：（1）O的方程x2+y2=4，故它的极坐标方程为2=4，即=2；直线l：x=4，故它的极坐标方程为cos=4（2）由于AB中点为M，设动点M（，），A（ 1，）、B（ 2，），则，动点M的轨迹方程为 =1+选修4-5：不等式选讲24不等式|x|的解集为x|nxm（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|m，|2ab|n，求证：|b|【考点】综合法与分析法(选修）【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可（2）根据绝对值不等式的性质进行转化证明【解答】解：（1）由|x|得x，即x，不等式|x|的解集为x|nxmn=，m=，（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）（2ab）|2|a+b|+|2ab|，|a+b|m，|2ab|n，|a+b|，|2ab|，则3|b|2|a+b|+|2ab|2+=，即|b|2016年7月29日