1、第一讲 空间几何体的结构、表面积和体积 1.2021合肥市调研检测表面积为 324的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是 14,则这个正四棱柱的表面积等于()A.567 B.576 C.240 D.49 2.2021 安徽省四校联考在三棱锥 A-BCD 中,ABC 和BCD 都是边长为 2 的正三角形,当三棱锥 A-BCD 的表面积最大时,其内切球的半径是()A.22-6 B.2-3 C.2 D.66 3.2020 全国卷,5 分已知ABC 是面积为934 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为()A.3 B.32
2、C.1 D.32 4.2021 安徽省示范高中联考蹴鞠(如图 8-1-1 所示),又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等,“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006 年 5 月 20 日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”表面上的四个点 A,B,C,D 满足 AB=CD=14 cm,BD=AC=8 cm,AD=BC=12 cm,则该“鞠”的表面积为()图 8-1-1 A.202 cm2 B.1012023 cm2 C.101202 cm2 D
3、.2023 cm2 5.2021 湖南六校联考 如图 8-1-2,以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心,以2为半径作一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧的长之和为()图 8-1-2 A.34 B.2 C.32 D.94 6.2020 成都市高三模拟若矩形 ABCD 的对角线交点为 O,周长为 410,四个顶点都在球 O 的表面上,且 OO=3,则球 O 的表面积的最小值为()A.3223 B.6423 C.32 D.48 7.2020 济南市 5 月模拟多选题已知圆锥的顶点为 P,母线长为 2,底面半径为3,A,B 为底面圆周上的两个不同的动点,则下列说法正确的是()A.圆锥的高
4、为 1 B.三角形 PAB 为等腰三角形 C.三角形 PAB 面积的最大值为3 D.直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为6 8.2021南昌市模拟已知一个圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面面积为 .9.2021 南昌市高三测试如图 8-1-3 所示,圆台内接于球,已知圆台上、下底面圆的半径分别为 3 和 4,圆台的高为 7,则该球的表面积为 .图 8-1-3 10.2021 河南省名校第一次联考已知 P,A,B,C 是半径为 3 的球面上的四点,其中 PA 过球心,AB=BC=2,AC=23,则三棱锥 P-ABC 的体积是 .11.2021 合肥市调研检测如图 8-1
5、-4,在ABC 中,CA=CB=3,AB=3,D 为 AB 的中点,点 F 是 BC边上异于点 B,C 的一个动点,EFAB,垂足为 E.现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置,使 PEAC,则四棱锥 P-ACFE 的体积的最大值为 .图 8-1-4 12.2021 河北六校第一次联考唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 8-1-5(1)所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图 8-1-5(2)所示.已知球的半径为 R,酒杯内壁表面积为143 R2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为 V1,下部分
6、(半球)的体积为 V2,则12=图 8-1-5 A.2 B.32 C.1 D.34 13.2020 陕西省百校联考四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA底面 ABCD,异面直线 AC 与 PD 所成的角的余弦值为105,则四棱锥的外接球的表面积为()A.48 B.12 C.36 D.9 14.2020 洛阳市联考已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC 满足BA=BC=6,ABC=2,若该三棱锥体积的最大值为 3,则其外接球的体积为()A.8 B.16 C.163 D.323 15.2020 合肥市模拟若圆锥 SO1,SO2的顶点和底面圆周
7、都在半径为 4 的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为 4,42,则这两个圆锥重合部分的体积为()A.83 B.8 C.563 D.56+1633 16.2020青岛市质检多选题如图8-1-6,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中 AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=DD1=2,则下列说法正确的是()图 8-1-6 A.该四棱台的高为3 B.AA1CC1 C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱台外接球的表面积为 16 17.多选题在三棱锥 P-ABC 中,ABBC,P 在底面 ABC 上的投影为 AC 的中点 D,DP=DC=1.则下列结论正确的
8、是()A.三棱锥 P-ABC 的三条侧棱长均相等 B.PAB 的取值范围是(4,2)C.若三棱锥的四个顶点都在球 O 的表面上,则球 O 的体积为23 D.若 AB=BC,E 是线段 PC 上一动点,则 DE+BE 的最小值为6+22 18.2021 湖南四校联考已知三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面的射影 O 为ABC 的垂心,若SABCSOBC=2,且三棱锥 P-ABC 的外接球半径为 3,则 SPAB+SPBC+SPAC的最大值为 .19.2021 黑龙江省六校阶段联考正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的外接球 O 的半径为 2,当该正四棱柱的侧面积最大时,一个质点从 A 出发移动
9、到 C1,则沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球 O 内部移动的最短距离的比值是 .20.2020 惠州市二调双空题已知底面边长为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点均在球 O1上,又知球 O2与此正三棱柱的 5 个面都相切,则球 O1与球 O2的半径之比为 ,表面积之比为 .21.条件创新将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形,其中小扇形的圆心角为3,则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为()A.21 B.708 C.41 D.3270 22.条件创新已知在三棱锥 P-ABC 中,ABC 的内切圆圆 O 的半径为 2,PO平面 ABC,且三棱锥 P-A
10、BC 的三个侧面与底面所成角都为 60,则该三棱锥的内切球的体积为()A.32327 B.8327 C.163 D.43 23.多选题九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图 8-1-7,在鳖臑 P-ABC 中,PA平面 ABC,ABBC,且 AB=2.若鳖臑 P-ABC 外接球的体积为 36,则当该鳖臑的体积最大时,下列说法正确的是()图 8-1-7 A.PA=4 B.BC=4 C.该鳖臑体积的最大值为83 D.该鳖臑的表面积为 8+85 24.2021 云南省部分学校统一检测探索创新已知一圆锥底面圆的直径为 3,圆锥的高为332,在该圆锥内放置一个棱长为 a 的正四面体,
11、并且正四面体在圆锥内可以任意转动,则 a 的最大值为 .25.生活实践 在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子.某雕刻师计划在底面边长为 2 m,高为 4 m 的正四棱柱形的石料 ABCD-A1B1C1D1中雕出一个四棱锥 O-ABCD 和球 M 的组合体(如图 8-1-8 所示),其中 O 为正四棱柱的中心,当球的半径 r 取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重 kg.(其中 3.14,石料的密度=2.4 g/cm3,质量 m=V,V 为体积)图 8-1-8 答 案第一讲 空间几何体的结构、表面积和体积 1.B 设球的半径为 R,由题意
12、知 4R2=324,解得 R=9.如图 D 8-1-11 为过球心 O 和底面对角线的正四棱柱的截面,OOAC,可知 OO=7,OC=9,则 OC=92-72=42,于是正四棱柱的底面对角线长为 82,则底面边长为 8,所以正四棱柱的表面积 S=882+4814=576,故选 B.图 D 8-1-11 2.A 三棱锥 A-BCD 的表面积 S=23+SABD+SACD=23+4sinABD,故当 ABBD 时,Smax=4+23,如图 D 8-1-12,过 A 作 BC 的垂线,垂足为 E,连接 ED,易知 BC平面 AED,则SAED=2,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=1322=
13、223,设内切球半径为 r,则 VA-BCD=13Sr,可得 r=22-6.图 D 8-1-12 3.C 由等边三角形 ABC 的面积为934,得34 AB2=934,得 AB=3,则ABC 的外接圆半径r=2332 AB=33 AB=3.设球的半径为 R,则由球的表面积为 16,得 4R2=16,得 R=2,则球心 O到平面 ABC 的距离 d=2-2=1,故选 C.4.A 因为 AB=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把 A,B,C,D 四点放到长方体的四个顶点上,则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径.设该长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,“鞠”的半径为 R,则(2R)2=x2+y
14、2+z2.由题意可取 x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以 R2=1012,所以“鞠”的表面积S=4R2=202(cm2).故选 A.5.C 正方体的表面被该球面所截得的弧是相等的三部分,如图 D 8-1-13 所示,上底面被球面截得的弧长是以 A1为圆心,1 为半径的圆的周长的14,所以所求弧的长之和为 324=32.故选 C.图 D 8-1-13 6.C 由题意,知矩形ABCD所在的圆面为球O的一个截面.因为O为矩形ABCD的对角线的交点,所以 OO所在直线垂直于矩形 ABCD 所在的圆面.因为矩形 ABCD 的周长为 410,所以BC+CD=210.设 BC=x
15、,则 CD=210-x,所以 BD2=BC2+CD2=x2+(210-x)2,即 BD2=2(x-10)2+20.设球 O 的半径为 R,则 R2=(2)2+OO2=12(x-10)2+8,所以当 x=10时,R2取得最小值 8,又球 O 的表面积 S=4R2,则 Smin=32,故选 C.7.ABD 设圆锥底面圆的圆心为 O,连接 AO,则圆锥的高 h=2-2=22-(3)2=1,故选项 A正确;因为圆锥的母线长都相等,所以PAB 为等腰三角形,故选项 B 正确;设弦 AB 的长度为2x(0 x3),弦 AB 的中点为 D,连接 OD,PD,PO,则 OD2=3-x2,PD2=PO2+OD2
16、=3-x2+1=4-x2,于是PAB 的面积 S=12PDAB=12 4-22x=2(4-2)2+4-22=2,当且仅当 x=2时取等号,所以PAB 面积的最大值为 2,故选项 C 错误;易知PAO 就是直线 PA 与圆锥底面所成的角,且sinPAO=12,因此PAO=6,故选项 D 正确.8.2 因为圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,所以圆锥的底面半径 r=1,母线长 l=2,所以圆锥的侧面面积 S=rl=2.9.100 过球心 O 和圆台上、下底面圆的圆心作截面,设球的半径为 R,当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的两侧时,则有2-32+2-42=7,解得 R=5,故球的表面积
17、S=4R2=100;当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的同侧时,则有2-32-2-42=7,此方程无解,故舍去.10.2153 因为 AB=BC=2,AC=23,所以 cos B=2+2-22=-1226,所以质点沿着正四棱柱的表面移动的最短距离为 26.若质点直接穿过球 O 内部移动,则最短距离为正四棱柱的体对角线长,即球 O 的直径,所以最短距离为 4.则质点沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球 O 内部移动的最短距离的比值是264=62.图 D 8-1-22 20.51 51 设球 O1、球 O2的半径分别为 R,r,由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上,所以球心 O1在上、下底面中
18、心连成的线段的中点处,又球 O2与正三棱柱的 5 个面都相切,易知点 O2与 O1重合.如图 D 8-1-23,取上、下底面的中心分别为 F,E,连接 EF,设 BC 的中点为D,EF 的中点为 O1,连接 AD,O1A,则 E 在 AD 上,O1A=R,O1E=r,在O1EA中,AE=2332 a=33 a,O1E=r=1332 a=36 a,由于 O1A2=O1E2+AE2,所以 R2=512a2,r2=112a2,则球 O1与球 O2的半径之比为51,所以球 O1与球 O2的表面积之比为4242=22=51221122=51.图 D 8-1-23 21.B 不妨设半圆的半径为 1,用圆心
19、角为3的小扇形围成的圆锥的底面圆周长为31=3,设其底面圆的半径为 r1,则 2r1=3,所以 r1=16,该圆锥的高 h1=1-(16)2=356.用圆心角为23 的大扇形围成的圆锥的底面圆周长为23 1=23,设其底面圆的半径为 r2,则 2r2=23,所以 r2=13,该圆锥的高 h2=1-(13)2=223.所以 h1h2=708.22.A 设三棱锥 P-ABC 的内切球的半径为 R,过 O 作 ODAC 于点 D,OEBC 于点 E,OFAB 于点F,则 OD=OE=OF=2.连接 PD,易证 PDAC,因为三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面所成角都为 60,所以PDO=60,则
20、PO=2tan 60=23,PD=2cos60=4.由题意可知三棱锥 P-ABC 的内切球的球心 O在线段 PO 上,在 RtPOD 中,sinDPO=-,即24=23-,解得 R=233.所以该三棱锥的内切球的体积为43R3=43(233)3=32327,故选 A.23.ABD 在鳖臑 P-ABC 中,四个面都为直角三角形,可知 PC 的中点 O 到四个顶点的距离都相等,所以点 O 是鳖臑外接球的球心,由外接球的体积为 36,得外接球半径 R=3,所以 PC=6.设PA=a,BC=b,则PA2+AB2+BC2=PC2,得 a2+b2=32,所以 VP-ABC=13122ba=13ab132+
21、22=163,当且仅当a=b=4 时,VP-ABC取得最大值163.此时 PB=AC=42+22=25,所以鳖臑的表面积S=21224+212425=8+85.故选 ABD.24.2 解法一 由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则 a 最大时,该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为 P,球的半径为 r,圆锥的顶点为 S,圆锥底面圆的圆心为 O,A,B 为底面圆直径的两端点,轴截面上球与圆锥母线的切点为 Q,圆锥的轴截面如图 D 8-1-24 所示,连接SO,图 D 8-1-24 易知 P 在 SO 上,SOAB,则 OA=OB=32,因为 SO=332,所以 SA=SB=2+2=3,所以S
22、AB 为等边三角形,所以点 P 是SAB 的中心.连接 BP,PQ,则 BP 平分SBA,所以PBO=30,所以 tan 30=32=33,即 r=33 32=32,所以正四面体外接球的半径 r=32.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为 a 时,截得它的正方体的棱长为22 a,所以2r=322 a=62 a=3,得 a=2,所以 a 的最大值为2.解法二 由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则 a 最大时,该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为 S,底面圆的圆心为 O,A,B 为底面圆直径的两端点,圆锥的轴截面如图 D 8-1-25 所示,图 D 8-1-
23、25 则 OA=OB=32,连接 SO,则 SOAB,SO=332,所以 SA=SB=2+2=3,SAB 的面积 SSAB=934,由三角形内切圆半径公式 r=2+(其中 S 是三角形的面积,a,b,c 是三角形的三边长)知,SAB内切圆的半径 r=32.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为 a时,截得它的正方体的棱长为22 a,所以 2r=322 a=62 a=3,得 a=2,所以 a 的最大值为2.25.21 952 由题意得正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积 V1=224=16(m3),正四棱锥 O-ABCD 的体积V2=13222=83(m3),分析知球M的半径r的最大值为1,此时球M的体积V3=43r3=4313=43(m3),故去除石料的体积 V=V1-V2-V3=16-83-43 27.443(m3).又=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,故需去除的石料的质量 m=V2 40027.443=21 952(kg).