1、三垂线定理练习课二 教学目标 1进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；2应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；3通过解综合题提高学生解综合题的能力 教学重点和难点 教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”教学设计过程 师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题其中大多是基本题今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力现在看例 1 例 1 如图 1，已知：PAPB，PAPC，PBPC，求证：ABC 是锐
2、角三角形 师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法 所以 BAC 是锐角 同理可证ABC，ACB 都是锐角 师：我们能不能直接用三垂线定理来证？生：由已知可得 PA平面 PBC在直角三角形 PBC 中，作 PDBC 于 D，因为PBC，PCB 都是锐角，所以垂足 D 一定在斜边 BC 内部，连 PD，则 PDBC（三垂线定理）对于ABC 来说，因垂足 D 在 BC 边内部，所以ABC，ACB都是锐角，同理可证BAC 也是锐角 师：能不能用公式 cos1cos2cos来证明ABC 为锐角三角形？生：因 AP平面 PBC，所以ABP 是线面角，相当于1，PBC 相当于2，因1，2都是锐角所以 c
3、os10，cos20，coscos1cos20，所以为锐角。即ABC 是锐角，同理可证BAC，ACB 都是锐角 师：我们用了三种方法来证明ABC 是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质看例 2 例 2 如图 2，已知：PAPB，PAPC，PBPCPH平面 ABC 于 H求证：H 点是ABC 的垂心 师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证 H 是ABC 的垂心，只要证 AHBC 即可 生：因为 PABP，PACP，所以 PA平面 PBC 故 PABC 对于平面 ABC 来说，PH 是垂线，PA 是斜线，AH 是 PA 在平面 ABC 内的射线 因为 PABC，所以
4、AHBC 同理可证 BHAC，CHAB 故 H 是ABC 的垂心 师：由例 2 的演变可得例 3，现在我们来看例 3 例 3 如图 3，ABC 中，BAC 是锐角，PA平面 ABC 于 A，AO平面 PBC于 O求证：O 不可能是PBC 的垂心 师：要证明 O 不可能是PBC 的垂心，用什么方法？生：用反证法 师：为什么想到用反证法？生：因为直接证不好证 师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设 O 是PBC 的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明 生：假设 O 是PBC 的垂心，则 BOPC 对平面 PBC 来说，AO 是垂线，AB 是斜线，B
5、O 是 AB 在平面 PBC 内的射影 因为 BOPC，所以 ABPC 又因为 PA平面 ABC，PAAB，所以 AB平面 PAC，ABAC，BAC 是直角，与已知BAC 是锐角相矛盾所以假设不能成立，所以 O 不可能是PBC 的垂心 师：分析例 3 我们可以看出例 3 是由例 2 演变而来也就是说在 PAAB，PAACO 是PBC 的垂心条件下一定可以推导出 ABAC是例 2 的逆命题再加以演变而得现在我们来看例 4 例 4 如图 4，已知：AOB 在平面内，AOB60，PO 是平面的一条斜线段，POAPOB45，PP平面于 P，且 PP3求：（1）PO 与平面所成的角的正弦；（2）PO 的
6、长 师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题 生：因POAPOB，所以 OP是AOB 的平分线，POP相当于1，230，45，由 cos1cos30cos 师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型下面我们来看例 5 （1）直线 MN 是异面直线 A1B 和 B1D1的公垂线；（2）若这个正方体的棱长为 a，求异面直线 A1B 和 B1D1的距离 师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平
7、面来用三垂线定理 生：对于平面 A1B1C1D1来用三垂线定理 师：这时 MN 是平面 A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面 A1B1C1D1的垂线呢？生：作 MPA1B1于 P，又因为 D1A1平面 A1ABB1，所以 A1D1PM，故 PM平面A1B1C1D1 师：对于平面 A1B1C1D1来说，MP 是垂线，MN 是斜线，NP 是 MN 在平面 A1B1C1D1上的射影我们要证 MNB1D1，只要证 PNB1D1即可在正方形 A1B1C1D1中，我们知道 A1C1B1D1，所以现在只要证 PNA1Q1即可我们如何利用已知条件来证 PNA1O1 O1NNB1，所以 PNA1O1，所以 P
8、NB1D1，故 MNB1D1同理可证 MNA1B，所以 MN 是异面直线 A1B 和 B1D1的公垂线 师：已知正方体的棱长为 a，在直角三角形 MNP 中，如何求出 MN 的长？师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线 A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索 今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题 作业 补充题 1已知：正方形 ABCD 的边长为 10，O 为正方形中心，PO平 2已知：在ABC 中，BAC90，PC
9、ABC 所在平面，D 为 AB 上一点，PA，PD，PB 与平面 ABC 分别成 60，45，30的角，求证：D 是 AB 的中点 3将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起来，使 A 点在平面 BCD 的射影 O 恰好在BD 上，又 CD 的中点为 E，求证：AECD 提示：对于平面 BCD 来说，AO 是垂线，OE 是斜线 AE 在平面上的射影 AB13，AC15，A1B5，A1C9试比较BAC 与BA1C 的大小提示：用余弦定理可得BACBA1C 5已知：矩形 ABCD 所在平面为，点 P，但 P BC作 PQ平面，问：点 P 在什么位置时，QCB 分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明 提示：利用 cos1cos2cos公式
