1、二十四 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【基础全面练】(20 分钟 35 分)1某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()Ay2x2 By12xCylog2xDy12(x21)x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01【解析】选 D.方法一：相邻的自变量之差大约为 1，相邻的函数值之差大约为 2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选 D.方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法，可取 x4，经检验易知选 D.2f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x
2、，当 x(4，)时，对三个函数的大小进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)【解析】选 B.画出函数的图像(图略)，当 x(4，)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故 g(x)f(x)h(x).3若 a1，n0，那么当 x 足够大时，ax，xn，logax，nx 中最大的是()Aax Bxn Clogax Dnx【解析】选 A.由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知，当 x 足够大时，axxnlogax.4函数 yx2 与函数 yx ln x 在
3、区间(0，)上增长较快的一个是_.【解析】当 x 变大时，x 比 ln x 增长要快，所以 x2 要比 x ln x 增长得快答案：yx25生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应_；B对应_；C 对应_；D 对应_【解析】A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与对应；B 容器为球形，水高度变化为快慢快，应与对应；C，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但 C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与对应，D 容器慢，与对应答案：6用模型 f(x)axb 来描述某企业每季度
4、的利润 f(x)(亿元)和生产成本投入 x(亿元)的关系统计表明，当每季度投入 1(亿元)时利润 y11(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润 y22(亿元)，当每季度投入 3(亿元)时利润 y32(亿元).又定义：当f(x)使f(1)y12f(2)y22f(3)y32 的数值最小时为最佳模型(1)当 b23 时，求相应的 a 使 f(x)axb 成为最佳模型(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4(亿元)的值【解析】(1)b23 时，f(1)a23，所以f(1)12a132a223 a19，f(2)2a23，f(2)222a4324a2163 a169，f(
5、3)3a23，f(3)223a4329a2243 a169，所以f(1)12f(2)22f(3)2214a2423a33914a214a11314a12216，所以 a12 时，f(x)12 x23 为最佳模型(2)f(x)x2 23，则 f(4)83，所以预测 y483(亿元)【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1以下四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的 x0，xnlogaxC对任意的 x0，axlogaxD不一定存在 x0，当 xx0 时，总有 axxnlogax【解析】选 D.对于 A，幂函数与一次函数的增
6、长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于 B，C，当 0a1时，显然不成立当 a1，n0 时，一定存在 x0，使得当 xx0 时，总有 axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不成立2某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，则函数 yf(x)的图像大致为()【解析】选 D.由题意，设林区原来的蓄积量为 a，则 axa(110.4%)y，即 1.104yx，则 ylog1.104x，故 yf(x)的图像大致为 D.3为了治理沙尘暴，A 市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年
7、都比上一年增长 10.4%，那么经过 x 年绿色植被的面积为 y，则 yf(x)的图像大致为()【解析】选 D.设 a 为草场绿色植被的初始面积，由已知条件可得函数关系 yf(x)a(110.4%)x.4下列函数关系中，可以看出是指数型函数 ykax(kR，a0 且 a1)模型的是()A竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系D信件的邮资与其重量间的函数关系【解析】选 B.A.竖直向上发射的信号弹，
8、从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系，是反比例函数关系；D信件的邮资与其重量间的函数关系，是一次函数关系5四人赛跑，假设他们走过的路 fi(x)(i1，2，3，4)和时间 x(x1)的函数关系分别是 f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)4xCf3(x)log2xDf4(x)2x
9、【解析】选 D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是 f4(x)2x.【光速解题】令 x5，显然只有 D 最大二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月)的近似函数关系：yat(t0，a0 且 a1)的图象有以下说法：第 4 个月时，剩留量就会低于15；每月减少的有害物质质量都相等；当剩留量为12，14，18 时，所经过的时间分别是 t1，t2，t3，则 t1t2t3.其中所有正确说法的序号是_【解析】由于函数的图象经过点2，49，故函数的关系式为 y23t；当 t4时，
10、y1681 15，故正确；当 t1 时，y23，减少13，当 t2 时，y49，减少29，故每月减少的有害物质质量不相等，故不正确；分别令 y12，14，18，解得 t1log 2312，t2log 2314，t3log 2318，t1t2t3，故正确答案：7为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密解密原理如下：明文加密密文发送密文解密明文，已知加密为 YAX2(X 为明文，Y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_【解析】依题意得，YAX2 中，当 X3 时，Y6，故 6A32，解
11、得 A2.所以加密为 Y2X2，因此，当 Y14 时，由 142X2，解得 X4.答案：48三个变量 y1，y2，y3 随自变量 x 的变化情况如表：x1357911y151356251 7153 6456 633y25292452 18919 685177 149y356.16.616.957.207.40其中关于 x 呈对数型函数变化的变量是_，呈指数型函数变化的变量是_，呈幂函数型函数变化的变量是_【解析】由表中数据可知，y1 随 x 的增加成倍增加，但没有 y2 增长快，属于幂函数型函数变化，y2 随 x 的增加呈爆炸式增加，属于指数型函数变化，y3 随 x 的增加而增加，增加速度越来
12、越慢，属于对数函数变化答案：y3 y2 y1三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9若不等式 3x2logax 在 x0，13内恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】由题意，知 3x21，则函数 ylogax 的图象显然在函数 y3x2 图象的下方，所以 a1 不成立；当 0a1 时，ylogax 的图象必过点 A13，13或在这个点的上方，则 loga13 13，所以 a 127，所以 127 a1.综上，a 的取值范围是127，1.10已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元，且甲厂在 2 月份的利润是 14 万元，乙厂在 2 月份的利润是 8 万元若甲、乙两个工厂的
13、利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)a1x2b1x6，g(x)a23xb2(a1，a2，b1，b2R).(1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润(2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况【解析】(1)依题意：由f（1）6，f（2）14，得a1b10，4a12b18，解得a14，b14，所以 f(x)4x24x6.由g（1）6，g（2）8，得3a2b26，9a2b28，解得a213，b25，所以 g(x)13 3x53x15，所以甲工厂在今年 5 月份的利润为 f(5)86 万元，乙工厂在今年 5 月份的利润为g(5)86 万元，故有 f(5)g(5)，即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等，均为86 万元(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当 x1 或 x5 时，有 f(x)g(x)；当 1xg(x)；当 5x12 时，有 f(x)0)，乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为 x，由题意得，18a1(1x)8，5 月份甲的营业额为 14a，5 月份乙的营业额为 1(1x)4，即18a.因为(14a)2(18a)16a20，所以 14a18a.所以 2019 年 5 月份营业额较高的是甲