1、抛物线的几何性质基础达标练1.若抛物线y2=2px(p0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是( )A.p1 B.p1C.p2 D.p2答案：D2.(2020江苏南通高二月考)设抛物线C：y2=4x的焦点为F , 过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则|MF|+|NF|= ( )A.5B.6C.7D.8答案：C3.(2021山师附中高二月考)已知F是抛物线x2=y的焦点,A、B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3 ,则线段AB的中点到x轴的距离为( )A.74 B.54 C.1D.34答案：B4.(2020山东郓城一中高二月考)已知F为抛物线C:y2=2px
2、(p0)的焦点,过点F作垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,以MN为直径的圆交y轴于C、D两点,且|CD|=3 ,则抛物线方程为( )A.y2=2x B.y2=23xC.y2=43x D.y2=6x答案：B5.设斜率为3的直线过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,且与C交于A,B两点,若|AB|=163 ,则p= ( )A.12 B.1C.2D.4答案：C解析：由题意得,直线的方程为y=3(x-p2)设A(x1,y1),B(x2,y2) ,联立y=3x-p2,y2=2px,得3(x-p2)2=2px整理得3x2-5px+34p2=0所以x1+x2=5p3 ,因此|AB|=x1+x2+p=8
3、p3 ,又|AB|=163 ,所以8p3=163 ,解得p=26.(2020广东深圳红岭中学高二期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F ,准线为l,P是l上一点且P在x轴下方,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若PF=4MF ,则|MN|= ( )A.32 B.92 C.3D.9答案：B解析：由题意得F(1,0) ,因为PF=4MF ,所以PM=3MF ,过点M作MQ直线l于点Q (图略),则|MF|=|MQ| ,所以在直角三角形PQM中,cosPMQ=|MQ|PM|=|MF|PM|=13 ,所以tanPMQ=22 ,所以直线MN的方程为y=22(x-1) ,联立y=22(x-1)y2=4x
4、整理得2x2-5x+2=0解得x=2或x=127.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB| ,且AOB的面积为16,则AOB= .答案：90解析：由|OA|=|OB| ,知抛物线上的点A,B关于y轴对称,设A(-a,a24),B(a,a24),a0 ,则SAOB=122aa24=16 ,解得a=4|OA|=|OB|=42,|AB|=8,在AOB中,|OA|2+|OB|2=|AB|2 ,AOB为等腰直角三角形,AOB=90素养提升练8.(2021广西梧州高级中学高二期中)已知直线l:y=k(x-2)(k0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF
5、|=2|BF |,则k的值是( )A.13 B.223 C.22 D.24答案：C解析：由抛物线C:y2=8x ,知F(2,0) ,设A(x1,y1),B(x2,y2) ,因为直线l过点(2,0)且k0,所以A,B在x轴两侧.又|AF|=2|BF| ,所以x1x2，且x1+2=2(x2+2)，即x1=2x2+2 .由y=k(x-2),y2=8x可得k2x2-(8+4k2)x+4k2=0，由根与系数的关系的x1+x2=8k2+4,x1x2=4,代入x1=2x2+2 ,可得x1=4x2=1k2=8，又k0，故k=22 .9.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,O
6、AOB ,则AOB的面积是( )A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2答案： B 解析：因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45由方程组y=xy2=2p得x=0,y=0（舍去）或x=2py=2p所以A,B两点的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)所以|AB|=4p,所以SAOB=124p2p=4p210.已知抛物线y2=4x的焦点为F ,过F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线AB的方程答案：由题意得,p=2 ,焦点F(1,0) ,当直线AB的斜率不存在时,|AB|=2
7、p=48 ,不符合题意,故直线AB的斜率一定存在设直线AB的斜率为k,且k0 ,则直线AB的方程为y=k(x-1) ,联立y=k(x-1)y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=2k2+4k2|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8 ,解得k=1,直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=011.(2021山东聊城高二期中)在|PF|=x0+1;y0=2x0=2;PFx轴时,|PF|=2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答.问题：已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F ,点P(x0,y0) .在抛物线C上,且 .（1）求抛物线C的标准方程;
8、（2）若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求ABF的面积答案：（1）若选：由抛物线的定义可得|PF|=x0+p2 ,因为|PF|=x0+1 ,所以x0+p2=x0+1,解得p=2若选：因为y0=2x0=2 ,所以y0=2,x0=1 ,因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y02=2px0 ,即2p=4 ,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x若选：因为PFx轴,所以|PF|=p2+p2=p ,因为|PF|=2 ,所以p=2故抛物线C的标准方程为y2=4x（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) ,由(1)可知F(1,0)联立x-y-2=0y2=4x整理得y2-4y-8=
9、0则y1+y2=4,y1y2=-8 ,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+32=43,故|AB|=2|y1-y2|=243=46,因为点F到直线l的距离d=|1-2|1+1=22所以ABF的面积为12|AB|d=124622=23创新拓展练12.(多选)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F ,准线为l,l与x轴交于点C ,若点A在l上,点B为抛物线在第一象限内的一点,直线BF与抛物线交于另一点D ,ABF是正三角形,且四边形ABFC的面积是2732，则( )A.l的方程为x=-32 B.|DF|=2C.CDBD D.ODF的面积是334答案：A
10、 ; B ; D解析：命题分析本题考查抛物线的定义、焦点弦的性质及应用,同时考查学生分析问题、解决问题的能力.答题要领根据题干条件及抛物线的定义,可求得p的值,即可求得抛物线的方程及准线方程,联立直线BD的方程与抛物线的方程,即可求出B、D的坐标,即可求得|DF|,利用向量法可检验CD与BD是否垂直,利用三角形的面积公式即可求得ODF的面积.详细解析如图,因为ABF为正三角形,所以|BA|=|BF| ,则由抛物线的定义可知BAl，又BAF=60 ,所以CAF=30因为|FC|=p ,所以|AC|=3p,|AF|=|AB|=2p因为四边形ABFC的面积为2732 ,所以12(p+2p)3p=27
11、32所以p=3 (负值舍去),所以F(32,0) ,l的方程为x=-32 ,故A正确;易知直线BD的方程为y=3(x-32) ,代入抛物线y2=6x中,得4x2-20x+9=0解得x=12或x=92 ,则B(92,33),D(12,-3) ,所以|DF|=12+32=2 ,故B正确;因为C(-32,0) ,所以CD=(2,-3) ,又BD=(-4,-43)所以BDCD=40 ,所以BD,CD不垂直,故C错误;ODF的面积S=12|OF|yD|=12323=334 .故D正确.方法感悟解题的关键是根据正三角形及四边形ABFC的面积求得p值,再联立方程,求得B、D的坐标,进行分析和判断,在已知坐标的情况下,证明垂直时,可用向量法.本题属于中档题.
