1、第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四讲基本不等式练好题考点自测1.2021河南驻马店模拟设0ab,则下列不等式正确的是()A.ababa+b2B.aaba+b2bC.aabba+b2D.abaa+b20且y0”是“xy+yx2”的充分不必要条件D.若a0,则a3+1a2的最小值为2a3.2020天津,5分已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.4.2019天津,5分设x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.5.2017 江苏,5分某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存
2、储费用之和最小,则x的值是.拓展变式1.(1)2020江苏,5分已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是. (2)2017 山东,5分若直线x/a+y/b=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为. 2.2020安徽合肥二模若a+b0,则a2+b2+1(a+b)2的最小值为.答 案第四讲基本不等式1.B因为0ab,所以a-ab=a(a-b)0,故a0,所以ba+b2;由基本不等式知a+b2ab.综上所述,aaba+b2b,故选B.2.ABD对于A,当x0时,y-2,故A错误;对于B,易知当且仅当cosx=2时f(x)取最小值,但cosx不可能为2,所以等号不可能
3、成立,故B错误;对于C,当x0且y0,b0,ab=1,a+b2=8a+b,即ab=1,a+b=4时取等号.因此12a+12b+8a+b的最小值为4.4.43因为x+2y=5,x0,y0,所以(x+1)(2y+1)xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=212=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1,或x=2,y=32时取等号,故原式取得的最小值为43.5.30一年购买 600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x6+4x=4(900x+x)8900xx=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
4、1.(1)45解法一由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,则x2+y2=15y2+4y25215y24y25=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.解法二4=(5x2+y2)4y2(5x2+y2)+4y222=254(x2+y2)2,则x2+y245,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时取等号,则x2+y2的最小值是45.(2)8直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当ba=4ab和1a+2b=
5、1同时成立,即a=2,b=4时等号成立,2a+b的最小值为8.2.2解法一因为2aba2+b2,所以(a+b)22(a2+b2).由a+b0,知a2+b2+1(a+b)2a2+b2+12(a2+b2)212=2,当且仅当a=b且a2+b2=12(a2+b2),即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.解法二因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,所以a2+b2(a+b)22,所以a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212=2,当且仅当a=b且(a+b)22=1(a+b)2,即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.
