1、第41讲数列的综合问题1(2017长春市高三质量监测(二)已知数列an满足a1，an13an1(nN*)(1)若数列bn 满足bnan，求证：bn 是等比数列；(2)若数列cn满足cnlog3an，Tnc1c2cn，求证Tn. (1)由已知得an13(an)(nN*)，从而有bn13bn，又b1a11，所以数列bn是以1为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得bn3n1，从而an3n1，cnlog3(3n1)log33n1n1，所以Tnc1c2c3cn012n1，所以Tn.2(2016四川卷)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，
2、a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en. (1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立，所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0.由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*)(2)证明：由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e2解得q.因为1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e
3、2en1qqn1，故e1e2en.3(2018浙江卷)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式 (1)由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得8(q)20，解得q2或q.因为q1，所以q2.(2)设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)()n1，故bnbn1(4n5)()n2，n2，bnb1(bnbn1
4、)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)()n2(4n9)()n373.设Tn3711()2(4n5)()n2，n2，则Tn37()2(4n9)()n2(4n5)()n1，所以Tn344()24()n2(4n5)()n1，因此Tn14(4n3)()n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)()n2.又当n1，bn1b1满足上式，所以bn15(4n3)()n2.4设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令bn()(nN*)，求证：b1b2b3bn1n. (1)由已知(nN*)，整理得Sn(an2)2，所以Sn1(an12)2.所以an1Sn1Sn(an12)2(an2)2(a4an1a4an)，整理得(an1an)(an1an4)0，由题意知an1an0，而a12，所以an1an4，即数列an是a12，d4的等差数列，所以ana1(n1)d4n2.(2)证明：令cnbn1，则cn(2)(1)(1).故b1b2bnnc1c2cn(1)()()11.故b1b2bn1n.
