1、第二节参数方程本节主要包括2个知识点：1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.突破点(一)参数方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1
2、(ab0)的参数方程为(为参数)考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 参数方程与普通方程的互化1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法；加减消元法；恒等式(三角的或代数的)消元法；平方后再加减消元法等其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式xf(t)(或y(t); 第三步，
3、把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一关系yg(t)(或x(t)，问题得解例1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)解(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1，当t1时，1x0，故tan .所以直线l的斜率为.方法技巧1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如(t为参数)的直线的参数方程，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1考点一将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)
4、解：(1)两式相除，得k，将其代入x得x，化简得4x2y26y0，因为y6，所以0y6，所以所求的普通方程是4x2y26y0(0y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,22考点二(2017唐山模拟)已知曲线C的参数方程为(为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A在曲线C上，点D(1,3)当点A在曲线C上运动时，求AD中点P的轨迹方程解：(1)将代入得曲线C的参数方程为曲线C的普通方程为y21.(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)
5、，又D(1,3)且AD的中点为P，又点A在曲线C上，将A点坐标代入C的普通方程y21，得(2x1)24(2y3)24，动点P的轨迹方程为(2x1)24(2y3)24.3考点二(2017郑州模拟)将曲线C1：x2y21上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|BD|.解：(1)由题意可得C2：y21，对曲线C1，令y0，得x1，所以l：(t为参数)(2)将代入y21，整理得5t24t4
6、0.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos 30，故|AC|BD|AC|(|AD|AB|)|AC|AD|AB|t1t2.4考点二设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)将圆C的参数方程化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2
7、cos 5sin )t250.当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即4(2cos 5sin )21000，即20sin cos 21cos2，两边同除以cos2，由此解得tan ，即直线l的斜率的取值范围为.突破点(二)参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选
8、择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P(，)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 参数方程与极坐标方程的综合问题典例(2017长沙模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos ksin )2(k为实数)(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理
9、由；(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的斜率解(1)由曲线C1的参数方程可得其普通方程为(x1)2y21.由(cos ksin )2可得直线l的直角坐标方程为xky20.因为圆心(1,0)到直线l的距离d1，所以直线与圆相交或相切，当k0时，d1，直线l与曲线C1相切；当k0时，d0得m0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，|AB|t1t2|8，化简有3cos24sin cos 0，解得cos 0或tan ，从而可得直线l的直角坐标方程为x30或3x4y150.6已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)
10、求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点7(2017河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为相交于A，B两点(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求
11、AOB的面积解：(1)由曲线C的极坐标方程，得2sin22cos ，所以曲线C的直角坐标方程是y22x(x0)由直线l的参数方程得t3y，代入x1t中，消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y22x，得t28t70，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t28，t1t27，所以|AB|t1t2|6，因为原点到直线xy40的距离d2，所以AOB的面积是|AB|d6212.8极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为(t为参数)曲线C的极坐标方程为sin28cos .(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求的值解：(1)由sin28cos 得，2sin28cos ，曲线C的直角坐标方程为y28x.(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y28x，得(tsin )28(2tcos )，整理得sin2t28cos t160.由已知sin 0，(8cos )24(16)sin2640，t1t2，t1t20，故 .