1、专题02 函 数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等21 函 数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射记作f：AB，其中x叫原象，y叫象2、设
2、集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域函数的值域由定义域与对应法则完全确定3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心【复习要求】1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数3掌握函数的三种表示法(列表法、图
3、象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2xx，则在映射f作用下，2的象是_；20的原象是_【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2xx所以，2的象是2226；设象20的原象为x，则x的象为20，即2xx20由于xN，2xx随着x的增大而增大，又可以发现24420，所以20的原象是4例2 设函数则f(1)_；若f(0)f(a)2，则a的所有可能值为_【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则所以f
4、(1)3又f(0)1，所以f(a)1，当a0时，由a11得a0；当a0时，由a22a21，即a22a30得a3或a1(舍)综上，a0或a3例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A)(B)(C)(D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数(B)中两个函数的定义域相同，化简后为yx及yt，法则也相同，所以选(B)【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致例4 求下列函数的定义域(1)(2)(3)(4)
5、解：(1)由x110，得x11，所以x11或x11，所以x2或x0所以，所求函数的定义域为xx2或x0(2)由x22x30得，x1或x3所以，所求函数的定义域为xx1或x3(3)由得x3，且x0，x1，所以，所求函数的定义域为x|x3，且x0，x1(4)由所以1x1，且x0所以，所求函数定义域为x1x1，且x0例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x1)及f(x2)的定义域【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：定义域是指x的取值范围；受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的那么由f(x)
6、的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x1)中，受f直接制约的是x1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0x11得1x0，即f(x1)的定义域是(1，0)同理可得f(x2)的定义域为x1x1，且x0例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域解：根据题意，AB2x所以，根据问题的实际意义AD0，x0解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围正确的解不等式
7、或不等式组在解决这类问题中是重要的中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：分式中分母不为零；偶次方根下被开方数非负；零次幂的底数要求不为零；对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；ytanx，则，kZ(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)其解决办法见例5的分析(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如
8、果f(x)为二次函数，f(0)2，并且当x1时，f(x)取得最小值1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于直线x1对称，求f(x)的解析式【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题方法一通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”所以，方法二设，则则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x1时，f(x)取得最小值1，所以，可设f(x)a(x1)21，又f(0)2，所以
9、a(01)212，所以a3f(x)3(x1)213x26x2(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x1对称点的坐标为Q(2x，y)，由已知，点Q在函数yg(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2x，y)满足yg(x)的解析式，即yg(2x)22x，所以，f(x)22x【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法值得注意的是(4)中所用
10、的解析法在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x1，且图象在y轴上的截距为3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式解：解法一设f(x)ax2bxc，由f(x)的对称轴为x1，可得b2a；由图象在y轴上的截距为3，可得c3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x1，x3均为方程ax2bxc0的根所以f(1)0，即abc0，所以a1f(x)x22x3解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x1，x3均为方程f(x)0的根所以，设f(x)a(x1)(x3)，又f(x)图象在y轴上的截
11、距为3，即函数图象过(0，3)点即3a3，a1所以f(x)x22x3【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重二次函数的解析式有三种形式：一般式yax2bxc；顶点式ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根例9 某地区上年度电价为0.8元kWh，年用电量为akWh本年度计划将电价降到0.55元kWh至0.75元kWh之间，而用户期望电价为0.40元kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的成本价为0.3
12、0元kWh(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20?解：(1)依题意，当实际电价为x元kWh时，用电量将增加至故电力部门的收益为(2)易知，上年度的收益为(0.80.3)a，依题意，且0.55x0.75，解得0.60x0.75所以，当电价最低定为0.60元kWh时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20练习21一、选择题1已知函数的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN( )(A)xx1(B)xx1(C)x1x1(D)2图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B
13、)(C)(D)y1x1(0x2)3已知f(x1)x22x，则( )(A)(B)(C)(D)4已知若f(x)3，则x的值是( )(A)0(B)0或(C)(D)二、填空题5给定映射f：(x，y)(x2y，x2y)，在映射f下(0，1)的象是_；(3，1)的原象是_6函数的定义域是_7已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123x123f(x)131g(x)321则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_8已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为_三、解答题9已知f(x)2xx1，求g(1)，gf(1)的值10在如图所示的直角坐标系中
14、，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为yax2c(a0)，D(6，7)为x轴上的给定区间为使物体落在区间D内，求a的取值范围11如图，直角边长为2cm的等腰RtABC，以2cms的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0t3)，并求出y的最大值22 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等本章着重研究后四个方面的性质本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用数形结合是本节常用的思想方法1设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任
15、意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数由奇函数定义可知，对于奇函数yf(x)，点P(x，f(x)与点(x，f(x)都在其图象上又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形2一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数；当yf(x2)f(x
16、1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的3一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期4一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(ax)f(ax)都成立，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称【复习要求】1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；
17、会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2了解函数奇偶性的含义能判断简单函数的奇偶性3了解函数周期性的含义4了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)f(x)x33x；(4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为xx1或x0，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数(2)函数的定义域为xx0，但是，由于f(1)2，f(1)0，即f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以此函数为非奇非偶函数(3)函数的定义域为R，又f(x)(x)33(x)x33xf(x)，所以此函数为奇函数(4)解
18、，得1x1，又所以此函数为奇函数(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；f(x)是奇函数，并且f(x)在x0时有定义，则必有f(0)0；既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)0判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：判断函数的定义域是否关于原点对称；考察f(x)与f(x)的关系由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：yf(x)；yxf(x2)；yf(x)；yf(x)f(x)其
19、中必为奇函数的有_(填写所有正确答案的序号)【分析】令F(x)f(x)，则F(x)f(x)，由于f(x)与f(x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定令F(x)xf(x2)，则F(x)xf(x)2xf(x2)F(x)，所以F(x)为奇函数令F(x)f(x)，则F(x)f(x)f(x)，由于f(x)与f(x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定令F(x)f(x)f(x)，则F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，所以F(x)为奇函数所以，为奇函数例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，则函数f(x)的奇偶性为_解：
20、令xy0，则f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，再令yx，则f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数【评析】关于函数方程“f(xy)f(x)f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令xy0得到了f(0)0当然，如果令xy1则可以得到f(2)2f(1)，等等令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令yx得到f(2x)2f(x)，在某些情况下也可令y，yx，等等总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气例4 已知二次函数f(x)x2bxc满足f(1x
21、)f(1x)，求b的值，并比较f(1)与f(4)的大小解：因为f(1x)f(1x)，所以x1为二次函数图象的对称轴，所以，b2根据对称性，f(1)f(3)，又函数在1，)上单调递增，所以f(3)f(4)，即f(1)f(4)例5 已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x22x，(1)求f(1)的值；(2)当x0时，求f(x)的解析式解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(1221)1(2)方法一：当x0时，x0所以，f(x)f(x)(x)22(x)x22x方法二：设(x，y)是f(x)在x0时图象上一点，则(x，y)一定在f(x)在x0时的图象上所以，y(x)22(x)，所以yx
22、22x例6 用函数单调性定义证明，函数yax2bxc(a0)在区间上为增函数证明：设，且x1x2f(x2)f(x1)(ax22bx2c)(ax12bx1c)a(x22x12)b(x2x1)a(x2x1)(x2x1)b(x2x1)(x2x1)a(x1x2)b因为x1x2，所以x2x10，又因为，所以，所以f(x2)f(x1)0，函数yax2bxc(a0)在区间上为增函数例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数(1)比较f(a22)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)f(a6)，求实数a的取值范围解：(1)因为a222a(a1)210，所以a222a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(
23、a22)f(2a)(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)f(a6)，所以a2a6，解得a3或a2【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：xx2x1的符号；yf(x2)f(x1)的符号；函数yf(x)在区间上是增还是减由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2x1，且f(x2)f(x1)，则函数yf(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2x1，且函数yf(x)在区间上是增函数，则f(x2)f(x1)；若f(x2)f(x1)，且函数yf(x)在区间上是增函数，则x2x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系请结合例5例6体会
24、这一点函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意例8 设f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，且它在区间(，0)上是减函数(1)试比较f(2)与f(3)的大小；(2)若mn0，且mn0，求证：f(m)f(n)0解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)，又f(x)在区间(，0)上是减函数，所以f(3)f(2)，即f(3)f(2)(2)因为mn0，所以m，n异号，不妨设m0，n0，因为mn0，所以nm，因为n，m(，0)，nm，f(x)在区间(，0)上是减函数，所以f(n)f(m)，因为f(x)是奇函数，所以f(m)f(m)，
25、所以f(n)f(m)，即f(m)f(n)0例9 函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)x2，x1，1(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间2n1，2n1上的解析式解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x2k)f(x)，kZ所以f(7.5)f(0.58)f(0.5)(2)设x2n1，2n1，则x2n1，1所以f(x)f(x2n)(x2n)2，x2n1，2n1练习22一、选择题1下列函数中，在(1，)上为增函数的是( )(A)yx24x(B)yx(C)(D)yx22x2下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，且f(2)f(2)，则
26、f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(，0上是减函数，在区间(0，)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)2则f(2)( )(A)2(B)2(C)1(D)14设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数二、填空题5若函数f(x)4x2mx5在区间2，)是增函数，则m的
27、取值范围是_；f(1)的取值范围是_6已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数当x(，0)时，f(x)xx4，则当x(0，)时，f(x)_7设函数为奇函数，则实数a_8已知函数f(x)x2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2； x1x2其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是_三、解答题9已知函数f(x)是单调减函数(1)若a0，比较与f(3)的大小；(2)若f(a1)f(3)，求实数a的取值范围10已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a1时，证明函数f(x)在区间2，)上是增函数11定义在(0，)上的函数f(x)满足f(2)1；f(xy)f(x)f(y)，
28、其中x，y为任意正实数，任意正实数x，y满足xy时，(xy)f(x)f(y)0恒成立(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)f(x3)2，试求x的取值范围23 基本初等函数()本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，
29、研究和记忆函数性质的时候应全面考虑函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质【知识要点】1一次函数：ykxb(k0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k0时，函数为增函数，k0时，函数为减函数；(4)当且仅当b0时一次函数是奇函数一次函数不可能是偶函数(5)函数ykxb的零点为2二次函数：yax2bxc(a0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a0时，值域为；当a0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为当a0时，抛物线开口向上
30、；当a0时，抛物线开口向下(3)当a0时，是减区间，是增区间；当a0时，是增区间，是减区间(4)当且仅当b0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数(5)当判别式b24ac0时，函数有两个变号零点；当判别式b24ac0时，函数有一个不变号零点；当判别式b24ac0时，函数没有零点3指数函数yax(a0且a1)(1)定义域为R；值域为(0，)(2)a1时，指数函数为增函数；0a1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，也没有零点4对数函数ylogax(a0且a1)，对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(1)定义域为(0，)；值域为R(2)a1时，对数函数为
31、增函数；0a1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为15幂函数yx(R)幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数；(3)如果0，则幂函数在区间(0，)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地接近x轴要注意：因为所有的幂函数在(0，)都有定义，并且当x(0，)时，x0，所以所有的幂函数yx(R)在第一象限都有图
32、象根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象6指数与对数(1)如果存在实数x，使得xna (aR，n1，nN)，则x叫做a的n次方根负数没有偶次方根；(2)分数指数幂，；n，mN*，且为既约分数)，且为既约分数)(3)幂的运算性质amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，a01(a0)(4)一般地，对于指数式abN，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为logaN，即blogaN(a0，且a1)(5)对数恒等式：N(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的
33、真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0(7)对数的运算法则及换底公式：；.(其中a0且a1，b0且b1，M0，N0).【复习要求】1掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握yx，yx2，yx3，这五个具体的幂函数的图象与性质2准确、熟练的掌握指数、对数运算；3整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题【例题分析】例1 化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)log2log3(log464)；(5)解：(1)(2)(3)(4)log2log3(log464)log2log3(log443)log2log33log210(5) 【评析
34、】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键例2 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式解：解法一设f(x)ax2bxc(a0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)4x24x7解法二f(x)a(xh)2k(a0)，为f(2)1，f(1)1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(1，1)点在抛物线上，所以，解得a4所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)x2(a2)x5在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_(2)二次函数yax24xa3的最大值恒为负，则a的取值范围
35、是_(3)函数f(x)x2bxc对于任意tR均有f(2t)f(2t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x2重合，或位于直线x2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a0，且判别式0”，即，解得a(，1)(3)因为对于任意tR均有f(2t)f(2t)，所以抛物线对称轴为x2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)f(1)f(4)例4 已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围解：当m0
36、时，f(x)3x1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m0时，注意到f(0)1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧所以m0符合题意；当m0时，注意到f(0)1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0m1综上，m(，1【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用例5 (1)当a0时，函数yaxb与ybax的图象只可能是( )(2)函数ylogax，ylo
37、gbx，ylogcx，ylogdx的图象分别是图中的、，则a，b，c，d的大小关系是_【分析】(1)在选项(A)中，由yaxb图象可知a0，b1，所以bab01(根据以为底的指数函数的性质)，所以ybax(ba)x应为减函数在选项(B)中，由yaxb图象可知a0，b1，所以bab01，所以ybax(ba)x应为增函数在选项(C)中，由yaxb图象可知a0，0b1，所以bab01，所以ybax(ba)x应为减函数与图形提供的信息相符在选项(D)中，由yaxb图象可知a0，0b1，所以bab01，所以ybax(ba)x应为增函数综上，选C(2)如图，作直线y1与函数ylogax，ylogbx，yl
38、ogcx，ylogdx的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，cdab【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)1”，例5中“作直线y1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y1”例6 已知幂函数(1)若f(x)为偶函数，且在(0，)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，)上是减函数，求k的取值范围解：(1)因为f(x)在(0，)上是增函数，
39、所以，解得1k3，因为kZ，所以k0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k1，f(x)x2(2)因为f(x)在(0，)上是减函数，所以，解得k1，或k3(kZ)例7 比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2x3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)amam与anan(a0，a1，mn0)【分析】(1)函数ylog2x在区间(0，)上是增函数，所以log20.6log210，函数ylog0.6x在区间(0，)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2lg(x2x3)(3)利用幂函数和指数函数单调性0.50.20.20.20.20.5(4)因为.根据不等
40、式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为ylog3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a1时，因为mn0，aman，amn1，所以amamanan；当0a1时，因为mn0，aman，amn1，所以amamanan综上，amamanan例8 已知a2，b2，比较ab，ab的大小【分析】方法一(作商比较法)，又a2，b2，所以，所以，所以abab方法二(作差比较法)，因为a2，b2，所以2a0，2b0，所以abab0，即abab方法三(构造函数)令yf(a)abab(1b)ab，将y看作是关于a的一次函数，因为1b0，所以此函数为减函数，又
41、a(2，)，y最大f(2)(1b)2b2b0，所以abab0，即abab【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6)例9 若log2(x1)2，则x的取值范围是_解：log2(x1)2，即log2(x1)log24，根据函数ylog2x的单调性，可得x14，所以x5，结合x10，所以x的取值范围是1x5例10 已知A
42、，B为函数ylog8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C，D两点(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合式，有kOCkOD，即C，D，O三点共线(2)当BCx轴时，即代入式中可得，于是练习23一、选择题1已知集合M1，1，则MN( )(A)1，1(B)1(C)0(D)1，02设，则使函数yx
43、a 的定义域为R且为奇函数的所有a 的值为( )(A)1，3(B)1，1(C)1，3(D)1，1，33已知0a1，logamlogan0，则( )(A)1nm(B)1mn(C)mn1(D)nm14已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，若x1x2，x1x21a，则( )(A)f(x1)f(x2)(B)f(x1)f(x2)(C)f(x1)f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定二、填空题5的值是_6若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点，则f(x)_7设则_8对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，有如下结论：f(x1x2)f(x1)f(x
44、2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；当f(x)lgx时，上述结论中正确结论的序号是_三、解答题9计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).10二次函数f(x)的顶点是P(4，3)，图象交x轴于A，B两点，且三角形PAB的面积为6，求f(x)的解析式11已知函数f(x)是函数g(x)ax的反函数，且(1，2)在yg(x)的图象上(1)求f(x)的表达式；(2)若f(m)f(4)(m0)，求m的值24 函数的图象在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题
45、的一种重要方法【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法常用的函数图象变换有：1平移变换yf(xa)：将yf(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移a个单位可得yf(x)a：将yf(x)的图象向上(a0)或向下(a0)平移a个单位可得2对称变换yf(x)：作yf(x)关于x轴的对称图形可得yf(x)：作yf(x)关于y轴的对称图形可得3翻折变换yf(x)：将yf(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得yf(x)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x0时图象与yf(x)的图象重合【复习要求】1能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象2能够对已知
46、函数yf(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象3通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题【例题分析】例1 做出下列函数的图象：(1)ylog2(x1)；(2)y2x11答：(1)将ylogx的图象左移1个单位，得到函数ylog(x1)的图象；(2)将y2x的图象左移1个单位，得到函数y2x1的图象，再将y2x1的图象向下平移一个单位得到函数y2x11的图象例2 作函数的图象【分析】方法一(描点法)分析函数的性质，得定义域：x1；当x1时，y0；当0x1时，1x10，所以y1与坐标轴的交点：(0，1)；对称性：偶
47、函数，关于y轴对称；单调性：当x1时，是减函数；用同样的方法可得0，1)为函数的减区间；(，1)，(1，0)为函数的增区间结合上面的分析，经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象方法二(函数图象变换法)先作函数的图象，再作的图象，再作的图象如下图：【评析】作函数图象之前，先对函数的性质作些研究是必要的，它可以简化作图过程比如在明确本题函数为偶函数之后，就只需做出的图象了函数图象是函数规律的直接表现，函数性质对函数规律进行了理论上的刻画，两者之间是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点对于方法二，有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数的图象，再作的图象，再作的图象在
48、这个过程中，由变到时，误以为应遵循yf(x)变化到yf(x1)的规律事实上，若，则，直接变换得不到要得的函数图象例3 若a1，1b0，则函数yaxb的图象一定不过( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】将yax(a1)图象向下平移b个单位(0b1)，依图象可知函数yaxb的图象一定不过第四象限选D例4 已知f(x)2x1，且abc0，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为_【分析】先画y2x的图象；然后将图象下移一个单位得到y2x1的图象；最后将x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，原x轴上方的图象不变，就得到了f(x)2x1的图象函数f(x)的图象如图所示所以f(x)在(，0是
49、减函数，所以，abc0所以f(a)f(b)f(c)例5 函数yxcosx的部分图象是( )【分析】对于函数f(x)xcosx，xR，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)，所以f(x)为奇函数，否定(A)(C)选项又，当时，f(x)0，所以f(x)在原点右侧附近时值为负，否定(B)选项于是选(D)例6 已知函数f(x)是定义在(3，3)上的偶函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式解集是_【分析】根据偶函数图象关于y轴对称，补全函数f(x)在(3，3)上的图象解不等式f(x)0，就是“找到”使得f(x)0的所有的x，就是在函数yf(x)的图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有
50、自变量根据补全的f(x)图象，识图可得不等式f(x)0解集为x3x1或1x3思考：如果问“不等式xf(x)0解集是_”该怎样利用已知函数的图象呢?答：x1x0或1x3例7 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图象如图所示，给出下列说法：前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越慢；5分钟后温度保持匀速增加；5分钟后温度保持不变其中说法正确的是_【分析】5分钟后温度保持不变，这一点通过图象易于判断前5分钟的情况，通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小，于是变化速度是越来越慢的所以正确例8 已知函数，求证：函数yf(x)的图象关于点(1，2)成
51、中心对称图形证明：设P(x0，y0)是函数的图象上任意一点，则，设P(x0，y0)关于(1，2)的对称点为Q(x1，y1)，根据中点坐标公式得以下只需证明Q(x1，y1)也在函数yf(x)的图象上因为而所以y1f(x1)，即Q(x1，y1)在函数yf(x)的图象上所以函数yf(x)的图象关于点(1，2)成中心对称图形练习24一、选择题1将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图的g(x)的图象，则f(x)( )(A)2x(B)3x(C)(D)2已知a0，a1，函数yax，yloga(x)的图象是下面的( )3已知f(x)log3x，则下列不等式成立的是( )(A)(B)(C)(D)f(
52、2)f(3)4函数的图象大致为( )二、填空题5如下图据新华社2002年3月12 日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从_年到_年的五年间增长最快6函数ylg(x)1的图象是由ylgx的图象_得到的7在函数f(x)lg(1x2)，中，图象关于y轴对称的是_8已知函数在(，)上单调递减，那么实数a的取值范围是_.三、解答题9作出函数的图象10设函数f(x)4xb，且不等式f(x)k的解集为x1x2(1)求b，k的值；(2)证明：函数的图象关于点对称11已知函数，求证：(1)函数yf(x)的图象关于直线yx成轴对称图形；(2)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线
53、不平行于x轴25 函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用1基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)2一些简单的复合函数的最值问题解决这类问题的方法通常有：(1)通过作出函数图象变成第1类问题；(2)通过换元法转化成第1类问题；(3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值其中讨
54、论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)；(5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路【例题分析】例1 求下列函数在给定区间上的值域(1)y2x1，x2，3)；(2)yx22x，x(2，2)；(3)【分析】分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围 根据上面的简图，观察得出：(1)函数的值域为5，5)；(2)函数的值域为1，8)；(3)函数的值域为例2 求下列函数的最值(1)求函数y2|x|，x2，1的最大、最小值；(2)求函数ysin2x2sinx3的最大、最小值；(3)求函数的
55、最大、最小值；(4)求函数的最小值；(5)求函数的最小值略解：(1)利用图象变换的知识作出函数y2x的图象(如下图)，观察在区间2，1上函数值的取值情况，得函数的最大值为4，最小值为1 (2)设tsinx，因为xR，所以t1，1，于是，原函数最大最小值问题转化为求函数yt22t3，t1，1的最大最小值问题用例1作图观察的方法，可得最大值为0，最小值为4(3)解x2x20可得1x2，即函数的定义域为x1x2设tx2x2，则y，由tx2x2，1x2，可得，由y，可得.所以，函数的最大值为，最小值为0(4)解x2x20可得1x2，即函数的定义域为x1x2设tx2x2，则由tx2x2，1x2，可得，由
56、，可得.所以，函数的最小值为(5)因为x0，所以，当且仅当即时等号成立所以，函数的最小值为.例3 求函数的最大、最小值【分析】设x2x10，则xx2x10，因为x2x10，x1x20，所以，只需分析x1x23的符号观察上式可知，只有当x1，x2，)时，才能保证当x1，x2在区间，)内任意取值时x1x230；同时，只有当x1，x2(0，时，才能保证当x1，x2在区间(0，内任意取值时x1x230所以，函数在区间(0，上是减函数，在区间，)上是增函数所以，函数的最小值为f()2又，f(4)f(1)，所以函数的最大值为.综上，函数的最大、最小值分别为另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数
57、的最大、最小值由已知，解f(x)0得或，注意到定义域为xx0，可得f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为之后的解法同上【评析】请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具体应用最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例1；利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例2(1)“换元法”求值域无非是通过换元，将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值域问题，如例2(2)、(3)、(4)；例3 通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实质性方法前面用到的其他方法无非是我们知道函数的图象，可以观察函数
58、的单调性，不需要自己讨论而已当然，有了导数的知识之后研究函数的单调性将更为便捷例2 (5)利用均值定理求函数的最值，这种方法可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题如y(其中a，b同号)；uv常数，求yuv的最值；uv常数，求yuv的最值，等等用均值定理求最值要注意条件：“正”“定”“等”如利用求最值应满足：a0，b0；ab或ab为定值；ab可以成立三个条件缺一不可例4 下列函数中值域为(0，)的是( )(A)(B)(C)(D)解：根据幂函数的图象，的值域为0，)；根据均值定理，的值域为2，)；ylnx，xe，)的值域为1，)；因为，所以值域为(0，)选D例5 函数yax在0，1上的最大值与
59、最小值之差为，则a的值为_解：当a1时，函数yax在0，1上是增函数，依题意当0a1时，函数yax在0，1上是减函数，依题意综上，a的值为或例6 建一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价是120元平方米，池壁的造价是80元平方米，求当池底宽为多少米的时候水池的总造价最低，并求出最低造价是多少解：设BCx(米)，则(米)，其中x0，所以底面积为4平方米，造价为1204480(元)左、右两侧面造价为8022x320x(元)，前、后两侧面造价为(元)所以.当且仅当，即x2(米)时等号成立，所以，当池底宽为2米的时候水池的总造价最低【评析】例4、5、6是函数最值问题的直接应用，注意
60、体会求最值方法的简单应用例7 已知f(x)loga(1x)(其中a1)，且在区间1，)上f(x)2恒成立，求实数a的取值范围解：因为loga(1x)2在1，)上恒成立所以loga(1x)logaa2在1，)上恒成立，因为a1，所以a21x在1，)上恒成立所以a22(注：因为a2应小于1x在1，)上的最小值)即，结合a1，得所以a的取值范围是例8 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)M(M为常数)，那么称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界现给出下列函数：f(x)cosx；f(x)lnx；f(x)3x；其中有下确界的函数是_略解：因为函数f(x)cosx的
61、值域为1，1，即f(x)1，所以下界M的集合为MM1，所以M中的最大值为1，有下确界因为函数f(x)lnx的值域为R，不存在M，使得对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)M，所以这个函数没有下确界因为函数f(x)3x的值域为(0，)，即f(x)0，所以下界M的集合为MM0，所以M中的最大值为0，有下确界因为函数的值域为1(0，)，所以f(x)1，同，有下确界所以，填【评析】例7、8是最值问题较灵活的应用例7中的“恒成立”问题往往和“最值”问题联系在一起，而且常常用到“分离变量”这一变形方法在此题中，“a21x在1，)上恒成立”就是最终的“分离变量”的形式“a2应小于1x在1，)上的最小
62、值”就是在将恒成立的问题转化成了最值的问题例9 有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p(万元)和q(万元)，它们与投入的资金M(万元)的关系近似满足下列公式：现有a(a0)万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元?获得的最大利润是多少万元?解：设对乙种商品投资x万元，总利润为y万元，则对甲种商品投资(ax)万元依题意，得：设，则所以，其中.当即时，此时即;当，即时，此时即xa所以当时，应对乙种商品投资万元，对甲种商品投资万元，可获得最大利润万元；当时，应对乙种商品投资a万元，不对甲种商品进行投资，可获得最大利润万元例10 已知函数f(x
63、)x23x1，xm，m1(1)求f(x)的最大值g(m)；(2)当m1，求g(m)的最大值解：(1)当，即时，g(m)f(m1)m2m3；当时，即时，；时，g(m)f(m)m23m1所以，(2)当时，当时，g(m)m23m1的最大值为，综上，当m1，g(m)的最大值为.练习25一、选择题1下列函数中值域为(0，)的是( )(A)(B)(C)(D)2函数yx22ax1的最大值小于2，则a的取值范围是( )(A)a1(B)a1(C)a2(D)1a13函数(x0)取得最大值时的自变量x等于( )(A)(B)(C)1(D)34对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一一个自变量x2使成立的函
64、数是( )(A)f(x)3lnx(B)(C)f(x)ex(D)y2x二、填空题5已知f(x)是定义在2，0)(0，2上的奇函数，当x0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是_6设A1，b(b1)，函数f(x)(x1)21(xA)，若f(x)的值域也是A，则b的值是_7已知函数f(x)x25x10，当x(n，n1(n1，2，3，)时，函数f(x)的值域为区间Dn，若将Dn中整数的个数记为g(n)，则g(1)的值等于_；函数g(n)的解析式为_8设函数的定义域为D，若所有点(s，f(t)(s，tD)构成一个正方形区域，则a的值为_三、解答题9设函数f(x)log2xlog2(1x)，求f
65、(x)的定义域及f(x)的最大值10渔场中鱼群的最大养殖量为m，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比例)的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围11已知f(x)loga(akax)，(0a1，kR)(1)当k1时，求函数f(x)的定义域；(2)且f(x)在1，)内总有意义，求k的取值范围26 函数与方程【知识要点】1如果函数yf(x)在实数a处的值等于零，即f(a)0，则a
66、叫做这个函数的零点函数零点的几何意义：如果a是函数yf(x)的零点，则点(a，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x轴的交点为(a，0)2零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是不间断的，而且f(a)f(b)，则这个函数在区间a，b上至少有一个零点这也是二分法的依据注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点3用二分法求函数yf(x)，xD零点的一般
67、步骤为：第一步、确定初始区间，即在D内取一个闭区间a，b，使得f(a)f(b)0；第二步、求中点及其对应的函数值，即求0以及f(x)的值，如果f(x)0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、能够用二分法求相应方程的近似解【例题分析】例1 求函数f(x)x(x2)(x3)的零点，作出其图象的草图，并解不等式f(x)0【分析】求函数零点只需求解方程f(x)0即可知道函数的零点之后，
68、就知道了这个函数的图象与x轴的交点坐标，再通过简单的描点作出图象的草图然后由草图可以得出不等式f(x)0的解集解：令f(x)0，即x(x2)(x3)0，可得x0，或x2，或x3因此，所求函数的零点是0，2，3列表，描点作图：x10122.535f(x)120200.625030由此可知，f(x)0的解集为(0，2)(3，)【评析】如果已经知道一个函数yf(x)的所有的零点，我们就能够画出这个函数的图象与x轴的交点然后再通过描点作图，可作出这个函数的大致图象，从而可以求出f(x)0以及f(x)0等不等式的解因此，我们可以借助一个函数的零点去研究这个函数的一些性质例如，我们就曾通过研究一个函数导函
69、数的零点及导函数值的正负进而研究这个函数的单调性，最值等等例2 求函数的零点解：因为，令f(x)0，即，即x23x20，解得x11，x22，所以函数的零点是1，2例3 若函数f(x)的图象在a，b上是不间断的，且有f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上( )A一定没有零点B至少有一个零点C只有一个零点D零点情况不确定【分析】如图所示，满足题目条件的函数图象与x轴的交点情况是不确定的，因此选择D【评析】由二分法的依据可知函数在一定区间内零点存在性的一种判断方法，即如果函数yf(x)在区间a，b上满足以下两个条件：函数图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0那么函数yf(x)在区间(a，
70、b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根在判断函数零点存在与否或判断函数零点个数的问题中应注意以下几点：(1)函数图象必须是一条不间断的曲线，图象有间断则结论不一定成立；(2)条件与必须同时满足；(3)满足条件时，只能得出yf(x)的零点存在，但并不能得出零点个数的多少；(4)当f(a)f(b)0时，并不能说明函数f(x)在(a，b)内无零点；(5)若函数f(x)在a，b上是单调函数，同时满足条件，则零点存在且唯一上述五点注意事项同学们可以结合函数图象的简图来理解数形结合的思路在本节内容的学习过程中经常运用例3 以下区间中，一定存在函数f(x)x33x3
71、的零点的是( )A1，0B0，1C1，2D2，3【分析】显然，f(x)x33x3的图象是不间断的，因此要保证区间a，b内一定有f(x)的零点，只需保证f(a)f(b)0即可从而，我们只需算出各个区间端点的函数值，看它们是否异号即可选出正确答案因为f(1)7，f(0)3，f(1)1，所以f(0)f(1)0因此函数f(x)在区间0，1上一定存在零点选B例4 以区间1，2为计算的初始区间，求函数f(x)x3x22x2的一个零点(精确到01)解：用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)2，f(2)61，2f(x0)0.62501，1.5f(x1)0
72、.98401.25，1.5f(x2)0.26001.375，1.5f(x2)0.16201.375，1.4375由上表可知，区间1.375，1.4375的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4就是所求函数在给定精确度情况下的一个零点例5 已知二次函数yax2bxc(1)若abc，且f(1)0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2)，方程有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)证明：(1)因为f(1)0，所以abc0，又abc，所以a0，c0，即ac0，所以b24ac4ac0，所以方程ax2bxc0有两个不等实根，所以函数f(x
73、)必有两个零点(2)令，则所以，因为f(x1)f(x2)，所以g(x1)g(x2)0，所以g(x)在区间(x1，x2)上必有一个零点，即方程g(x)0有一实根属于(x1，x2)，所以方程必有一实根属于(x1，x2)练习26一、选择题1已知3是函数f(x)x33x2x3的零点，则以下各点中一定在这个函数图象上的是( )(A)(3，0)(B)(3，0)(C)(0，2)(D)(2，0)2下列函数图象与x轴均有交点，但不易用二分法求交点横坐标的是( )3已知3，0，2都是函数f(x)的零点，则不可能是不等式f(x)0的解集的是( )(A)(3，0)(B)(0，2)(C)(3，2)(D)(2，5)4方程
74、log2(x3)2x解的情况是( )(A)仅有一根(B)有两个正根(C)有一个正根和一个负根(D)有两个负根二、填空题5若函数f(x)是偶函数，且函数f(x)有三个零点，则这三个零点之和等于_6函数的零点是_7已知函数f(x)x55x6，用二分法求这个函数的一个零点时，可将初始区间取为_8若方程2ax2x10在(0，1)内恰有一解，则a的取值范围是_三、解答题9求函数f(x)x(x26x8)的零点，作出它的图象的草图，并解不等式f(x)010设函数求函数的零点11已知函数yx3的图象与一次函数yx1的图象有且只有一个交点(x0，y0)求证：x00，2习题2一、选择题1若函数f(x)在区间a，b
75、上为减函数，则f(x)在a，b上( )(A)至少有一个零点(B)有一个零点(C)没有零点(D)至多有一个零点2若a20.5，blogp3，则( )(A)abc(B)bac(C)cab(D)bca3设ab，函数的图象可能是( )4函数f(x)xxab是奇函数的充要条件是( )(A)ab0(B)ab0(C)ab(D)a2b205设acb，如果把函数yf(x)的图象被两平行线xa及xb所截的一段近似地看作一条线段，则以下关系式中，f(c)的最佳近似表示式是( )ABCD二、填空题6等于_7已知，则2b，2a，2c的大小关系为_8已知f(x)x36x211x6，而且f(0)0，f(4)0，则用二分法可
76、求得这个函数在区间0，4内的零点(精确到0.1)为_9奇函数f(x)在3，7上是增函数，在3，6上的最大值是8，最小值是1，则2f(6)f(3)等于_10对于函数f(x)lg(x21)，f(x)(x2)2，f(x)cos(x2)，判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x2)是偶函数；命题乙：f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是_三、解答题11计算：log220log252log32log43的值12设a1，函数f(x)loga(x2)1(1)若f(x)在0，1上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；(2)若f(x)的图象不经过第二象限，求a的
77、取值范围13已知f(x)ax25ax6a，其中a为非零的常数求这个函数的零点，并确定f(x)0时自变量x的取值范围14已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：“在定义域内存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立”(1)函数是否属于集合M?说明理由；(2)设函数，求a的取值范围专题02 函数参考答案练习21一、选择题1C 2B 3C 4D二、填空题5(2，2)， 6xx3且x2 71；2 8三、解答题9答：g(1)2，gf(1)g(2)410提示：由yax2c过A(0，9)点，得c9yax29令y0，得由已知又a0.11解：依题意当0t1时，重合部分为边长为2t cm的直角三角形，
78、所以，此时；当0t2时，重合部分为边长为2cm的直角三角形，所以，此时；当2t时，重合部分为直角梯形(如下图)，此时，DQDPCPCD2t4，BD2DP2(2t4)62t，所以，此时；综上根据实际情况，当0t2时，重合部分面积最大，最大值为2练习22一、选择题1D 2B 3A 4D二、填空题5m16，f(1)25 6xx4 71 8三、解答题9解：(1)因为a0，所以，又函数f(x)是单调减函数，所以(2)f(x)是单调减函数，且f(a1)f(3)，所以a13，3a13，解得2a410解：(1)当a0时，f(x)x2为偶函数；当a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)设x2x12，由x2
79、x12得x1x2(x1x2)16，x1x20，x1x20所以f(x1)f(x2)0，函数f(x)在区间2，)上是增函数11略解：(1)f(1)0；f(4)2(2)设x1，x2(0，)，且x1x2，则(x1x2)f(x1)f(x2)0，因为x2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是单调增函数(3)因为f(x)f(x3)2，所以fx(x3)2，即fx(x3)f(4)，又函数f(x)在(0，)上是单调增函数，所以解得3x4，即x的取值范围是3x4练习23一、选择题1B 2A 3A 4B二、填空题5 6 7 8三、解答题9答：(1)7；(2)40；(3)
80、；(4)31011解：提示：(1)由已知，a12，所以所以(2)由f(m)f(4)(m0)，得f(m)f(4)或f(m)f(4)，由f(m)f(4)得，由函数的单调性可得，m4由f(m)f(4)得，由函数的单调性可得，综上，m4或.练习24一、选择题1A 2B 3C 4A二、填空题51995、2000 6关于y轴翻折再向y轴的正方向平移1个单位 7f(x)，h(x) 8三、解答题9提示：图象如下图10解：(1）f(x)4xb，f(x)k可化为4xbk，又f(x)k的解集为x1x2，解得(2)证明：由(I)知f(x)4x2，在(x)图象上任取一点N(x0，y0)，设N(x0，y0)关于的对称点为
81、N，则N(1x0，2y0)因为，又，所以N(1x0，2y0)在函数(x)图象上，所以函数的图象关于点对称11证明：(1)设(x0，y0)为函数yf(x)图象上任意一点，则，因为(x0，y0)关于直线yx的对称点为(y0，x0)，计算，所以(y0，x0)也在函数yf(x)图象上，所以函数yf(x)的图象关于直线yx成轴对称图形(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上两个不同的点，则x1x2，且x1，x21，假设ABx轴，即y1y2，则整理得x1x2，与x1x2矛盾，所以经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴练习25一、选择题1C 2D 3A 4C二、填空题53，1)(
82、1，3 63 7； 84三、解答题9答：定义域为x0x1；f(x)log2(xx2)，设uxx2，其最大值为，所以f(x)的最大值为log2210略解：(1)，定义域为x0xm(2)因为，所以当时(3)由0xym，即，解之，并注意到k0，可得0k211解：(1)当k1时，解aax0，即aax，因为0a1，所以x1，即函数f(x)的定义域为xx1(2)令akax0，即，由于0a1，并且上式对于x1，)恒成立，所以k应小于的最小值，因为x10，)，所以的最小值为1，所以k1练习26一、选择题1B 2B 3C 4C二、填空题50 62 72，0注：答案不惟一，只需满足f(a)f(b)0 8a1三、解
83、答题9略解：解x(x26x8)0得x10，x22，x24即f(x)的零点为0，2，4列表略，简图如图所示，不等式f(x)0的解集为xx4或2x010解：当x1，)时，解，即得；当x(，1)时，解，即得，因为x(，1)，所以所以，函数的零点为、.11证明：函数yx3的图象与一次函数yx1的图象的交点(x0，y0)一定是方程组 的解，所以x0一定是方程x3x10的解令f(x)x3x1，则由题意可知x0是这个函数的唯一的零点又因为f(0)f(2)50，所以x00，2习题2一、选择题1D 2A 3C 4D 5C二、填空题62 72b2a2c 82 915 10三、解答题11答：312答：(1) (2)
84、a213解：令f(x)0，即ax25ax6a0，由a0可知x25x60，解得x2或x3所以f(x)的零点为2、3如果f(x)ax25ax6a0，则当a0时，即x25x60，解得3x2；当a0时，即x25x60，解得x3或x214解：(1)对于x00且x01，计算，如果f(x01)f(x0)f(1)成立，则，即，这个方程无实数解，所以，在定义域内不存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立即函数不属于集合M(2)定义域为R，且需满足a0因为函数，所以f(x01)f(x0)f(1)成立，即存在，即，整理得，根据题意，上述方程有解所以，情况，2a0，此时方程有解，所以，a2符合题意；情况，解得，且a2；综上，67