1、3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程 直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线的方程为y-y0=k(x-x0).【思考】(1)利用点斜式表示直线方程的前提是什么?提示:直线的斜率存在.(2)直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k=0,则直线的点斜式方程是什么?提示:直线的点斜式方程为y-y0=0或y=y0.(3)直线l经过点P0(x0,y0),且斜率不存在,则直线的方程是什么?提示:x-x0=0或x=x0.2.直线的斜截式方程 直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线的斜截式方程为y=kx+b,其中b叫做直线l在y轴上的截距.【思考】(
2、1)直线的斜截式方程y=kx+b中,k和b的几何意义是什么?提示:k是直线的斜率;b是直线在y轴上的截距.(2)截距是距离吗?提示:不是,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,截距是实数而不是距离.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式y-y0=k(x-x0)()(2)x轴所在的直线方程为x=0.()(3)直线在y轴上的截距不能等于0.()提示:(1).斜率不存在的直线不能用点斜式表示.(2).x轴所在的直线方程为y=0.(3).当直线过原点时,在y轴上的截距等于0.2.已知直线的方程是y+2=-x-1,则()A.直线经过点(2,-1)
3、,斜率为-1 B.直线经过点(1,-2),斜率为-1 C.直线经过点(-2,-1),斜率为1 D.直线经过点(-1,-2),斜率为-1【解析】选D.直线的方程是y+2=-x-1,化为点斜式,即:y+2=-(x+1),故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.3.直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,则()A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6 C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6【解析】选B.直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,可得斜率k=-3,在y轴上的截距为b=-6.类型一 求直线的点斜式方程【典例】1.过点(4,-2),倾斜角为150的直线的点斜式方程为
4、()A.y-2=-(x+4)B.y-(-2)=-(x-4)C.y-(-2)=(x-4)D.y-2=(x+4)333333332.过点P(2 ,3)且倾斜角为30的直线方程 为()A.y+4 =3x B.y=x-C.3y-3=x D.y-=x 3333333.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_.22【思维引】1.先求出斜率,再写点斜式方程.2.先写出点斜式方程,再化简整理.3.先求出所求直线的斜率,再写点斜式方程.【解析】1.选B.因为直线过点(4,-2),倾斜角为150,所以直线的斜率k=tan 150=-,所以直线的点斜式 方程为y+2=-(x-4).
5、33332.选C.因为直线的倾斜角为30,所以其斜率为 tan 30=,由直线过点(2 ,3),所以直线方 程为y-3=(x-2 ),即3y-3=x.3.由题意得:所求直线的斜率是k=,故所求直线方程 是:y-1=(x+1).答案:y-1=(x+1)3333333222【内化悟】写直线的点斜式方程需要明确哪两个要素?提示:明确直线过的点,斜率.【类题通】求直线的点斜式方程的步骤【习练破】过点P(,-2 )且倾斜角为135的直线方程 为()A.y+4 =3x B.y=x-C.x+y=D.y+2 =(-1)(x-)3333333【解析】选D.因为直线的倾斜角为135,所以斜率 k=tan 135=
6、-1,又直线过点P(,-2 ),所以直线 的点斜式为y+2 =(-1)(x-).3333【加练固】一条直线经过点P(-2,3),且与过点(-4,4)和(-3,2)的直线平行,求这条直线的点斜式方程.【解析】过点(-4,4)和(-3,2)的直线的斜率为 =-2,由题意得,所求直线的斜率为-2,又因为该直线过 点(-2,3),所以该直线的点斜式方程为y-3=-2(x+2).4243 类型二 求直线的斜截式方程【典例】1.过点A(,1)且倾斜角为120的直线的斜截式方程为()A.y=-x-4 B.y=-x+4 C.y=x-2 D.y=x+2 33333332.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距
7、为4的直线的斜截式方程是()A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 12123.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成60角的直线的斜截式方程是_.【思维引】1.先写出直线的点斜式方程,再化为斜截式.2.先求出斜率,利用在y轴截距直接写方程.3.根据题意判断倾斜角进而求斜率再求方程.【解析】1.选B.因为斜率k=tan 120=-,所以过 点A(,1),且倾斜角为120的直线方程为:y-1=-(x-),即为y=-x+4.333332.选D.直线y=2x+1的斜率k=2,则与直线y=2x+1垂直的 直线斜率k=-,因为y轴上的截距为4,所以直线方程 为y=-x+4.
8、12123.与y轴相交成60角的直线倾斜角为30或150,可 得斜率为tan 30或tan 150,即 ,可得方程 为:y=x-6.答案:y=x-6 333333【内化悟】求直线的斜截式方程有哪些方法?提示:(1)先求出点斜式方程,再化成斜截式;(2)根据条件确定斜率,在y轴上的截距,直接写出斜截式方程.【类题通】求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要已知直线斜率,与y轴交点,就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.(3)利用直线的斜截式求方程务必灵
9、活,如果已知斜率k,只需引入截距b;同理,如果已知截距b,只需引入斜率k.【习练破】1.若直线l的倾斜角为45,且经过点(2,0),则直线l的斜截式方程是()A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x-D.y=x-2 332 3333【解析】选B.因为直线l的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,又由直线经过点(2,0)可得y-0=x-2即y=x-2.2.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的 ,且在y轴上的截距是-5的直线的斜截式方程.314【解析】因为直线y=-x+1的斜率k=-,所以其倾斜角=120,由题意,得所求直线的倾斜角1=30,所以所求 直线的斜率为tan 30=.又直线在y轴上的截距
10、为-5,所以所求直线的斜截式方程为y=x-5.33143333【加练固】已知直线y=2x+b过点(1,2),则b=_.【解析】将(1,2)代入y=2x+b,得2=2+b,解得:b=0.答案:0 类型三 直线斜截式方程的应用 角度1 图象的判断【典例】(2019昌吉高一检测)如图,直线y=ax+的图象可能是()世纪金榜导学号 1a【思维引】分a0,a0,则直线y=ax+的 斜率与在y轴上的截距都大于0,则A,B,C,D都不符合.若 a0时,斜率k=a0,在y 轴上的截距-0,都不符合此条件;当a0时,斜率 k=a0,只有C符合此条件.1a1a角度2 直线平行、垂直的判断及应用【典例】已知直线l1
11、:y=x+a,l2:y=(a2-3)x+1,当a为何值时,(1)l1l2.(2)l1l2.世纪金榜导学号 12【思维引】(1)利用平行的条件 求值.(2)利用垂直的条件k1k2=-1求值.1212kk,bb【解析】(1)若l1l2,所以a2-3=1,a2=4,所以a=2,又 由于l1l2,两直线l1与l2不能重合,则 a1,即a2,故a=-2.(2)若l1l2,则(a2-3)1=-1,所以a2=2,解得a=.122【类题通】两条直线平行和垂直的判定(1)平行的判定.(2)垂直的判定.【习练破】(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=_.(2)若直线l1:y=与直线l2:y=3x-1互相平行,则a=_.21xaa【解析】(1)由题意可知a(a+2)=-1,解得a=-1.(2)由题意可知 解得a=-,符合题意.答案:(1)-1(2)-23a11a，2323【加练固】已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6.(1)当a为何值时,l1l2.(2)当a为何值时,l1l2.【解析】设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-5,(1)当l1l2时,有 解得a=-2.(2)当l1l2时,k1k2=-1,即a2-5=1,所以a2=6,所以a=.2a51?3a6，6