1、函数与导数的综合应用专项练一、单选题 1若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）ABCD2已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）ABCD3已知函数在上有零点，则m的取值范围是（）ABCD4若函数，当时，恒成立，则的取值范围（）ABCD5已知，函，若函数有三个不同的零点，为自然对数的底数，则的取值范围是（）ABCD6已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（）ABCD7已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（）ABCD8设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（）A BCD9已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
2、ABCD10已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（）ABCD11函数在区间（0,1）内的零点个数是A0B1C2D312已知，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（）ABCD二、填空题 13已知是上的偶函数，当时，且对恒成立，则实数的取值范围是_.14已知函数，若函数只有唯一零点，则实数a的取值范围是_.15已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是_三、解答题 16已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围17已知函数.(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)记的两个极值点为，求证：.18已知函数，（1）求函数
3、图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围19已知函数(1)当，证明：；(2)若函数在上恰有一个极值，求a的值20已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数k的值；21已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明.22已知函数，其中.（）当a=1时，求函数的单调区间：（）求函数的极值；（）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围1D【详解】,当时，当时，的递减区间是，递增区间是，所以取得极小值，也是最小值，不等式对任意实数x都成立，所以.故选:D.2B【详解】设当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减时，取得极大值当趋向于，
4、趋向于当时，单调递增依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点如图所示，的取值范围为故选：B3C【详解】由函数存在零点，则有解，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增则时取得最小值，且，所以m的取值范围是故选：C4D【详解】解：依题意，当时，恒成立，令，则，又，在上单调递减，即故选：D5B【详解】当时，即，故，令，则，令，得，当时，当时，作出函数的图象如图所示：由图象知：当时，方程有两不等实根，当时，方程有一个实根；令，显然,所以，令，则在上恒成立，则在上递增，且，作出函数的图象如图所示：由图象知：当时，方程在恰有一个实根，即此时有三个不同的零点，综上，的取值范围是.故选：B6A【详解】曲线与在
5、区间上有两个公共点，即在区间上有两根，设，则，故当时，单调递增；当时，单调递减.又，故在区间上有两根则故选：A7D【详解】由题意得：，则，问题转化为ym和有2个交点，而，在和上，递增，在上，递减，当x趋于正无穷大时，无限接近于0，且，作出函数的图象，如图所示：观察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，实数.故选：D8B【详解】对恒成立，即，即，令，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.故选：B9B【详解】解：，令，显然为增函数，则原命题等价于，又令，则，所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以，即得
6、故选：B10A【详解】对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.所以在上恒成立，则而，则故选：A11B【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数又，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个考点：导函数，函数的零点12B【详解】x1,x2R，使得成立，等价于，当时，递减，当时，递增，所以当x1时，取得最小值；当x1时取得最大值为，所以，即实数a的取值范围是故选：B13【详解】，故为增函数，当时，可得为增函数.又为偶函数，故，恒成立.因为，所以有，故答案为：14【详解】令，得，则当时，令，所以，则在单调递减，所以函数与的图象，由图象可知，当，即时，图象有1个交点，即存在1
7、个零点.故答案为：15【详解】由得，令，在单调递增，又，在上恒成立，即令，则在单调递减，又因为，故答案为：.16（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.17(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）对求导得，由题设将问题转化为()恒
8、成立，即可求a的取值范围；（2）由（1）有，是的两个根，应用根与系数关系易得，进而可得，即可证结论.（1）的定义域为，又单调，对恒成立，即()恒成立，而，当且仅当时取等号，.（2）由（1）知：，是的两个根，则，且，故，而，得证.18（1）；（2）证明见解析；（3）【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出切线的方程（2）设h（x）=f（x）g（x）=lnxx+1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出（3）x（1，+），f（x）0，g（x）0对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出试题解析：(1)，.又由，得所求切线：，即所求切线为.（2）设，则，令，得，得
9、下表：1单调递增极大值单调递减，即.（3），（i）当时，；（ii）当时，；（iii）当时，设，令，得下表：单调递增极大值单调递减+0-，即不满足等式.综上，.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.19(1)证明见解析；(2).【解析】（1）利用导数判断的单调性，再由单调性证明结论.（2）由题意，问题转化为在上有且仅有一个解，构造并应用导数研究函数性质，即可求a值，注意验证对应零点是否变号（1）由题设且，则，所以在上递增，则，得证
10、.（2）由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，极小值，要使在上与有一个交点，则或或.经验证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以.20（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；【详解】（1）由得，定义域为，则，由得，由得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题意知方程仅有一个实根，由得，令，则与有且仅有一个交点，又，由得；由得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，.又，所以要使仅有一个零点，则.21(1)(2)证明见解析【解析】（1）利用导数的几何意义可求解；（2）将问题转化为证明
11、成立，再分别求与的最值即可证明.（1）因为，则，则，所以所求切线方程为，即.（2）由题意，可知，要证明，即证，令，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.令，则，因为，所以当，当，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以恒成立，即恒成立，所以当时，.【点睛】解决本题的关键一是对要证明的不等式进行变形，二是分别求两个新函数的最值.22（）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （）见解析（）a1【详解】（）当a=1时, f（x）=当f（x）1; f（x）0时，0x0，当xa时，f（x）0) g(x)在（0，+）单调递增，又g(1)=0, 0x1时，g(x)1时，g(x)0(i)当01时，f(a)=ag(a)0函数f(x)在（）内有一个零点，f(3a-1)=aln(3a-1)-设h(x)=lnx-x(x2) h(x)在（2，+）内单调递减，则h(3a-1)h(2)=ln2-21时，函数f(x)恰有两个零点综上，函数有两个不同的零点时，a1
