1、第四节椭 圆突破点(一)椭圆的定义和标准方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆(2)若 ac，则集合 P 为线段(3)若 ab0)上一点 P(x0，y0)(y00)和焦点 F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2 中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF
2、2|cos.(3)SPF1F212|PF1|PF2|sin，当|y0|b，即 P 为短轴端点时，SPF1F2 取最大值，为 bc.本节主要包括 2 个知识点：1.椭圆的定义和标准方程；2.椭圆的几何性质(4)焦点三角形的周长为 2(ac)例 1 已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x23 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是()A2 3B6 C4 3D12解析 由椭圆的方程得 a 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)
3、(|CF|CA|)2a2a4a4 3.答案 C求椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤是：例 2(1)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23 y221 B.x23 y21C.x212y281 D.x212y241(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|
4、F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28 y261 B.x216y261C.x24 y221 D.x28 y241解析(1)由题意及椭圆的定义知 4a4 3，则 a 3，又 eca c3 33，所以 c1，则 b22，故 C 的方程为x23 y221.(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点 P(2，3)在椭圆上知 4a2 3b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，则ca12，又 c2a2b2，联立4a2 3b21，c2a2b2，ca12得 a28，b26，故椭圆方程为x28 y261.
5、答案(1)A(2)A方法技巧待定系数法求椭圆方程的思路求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.考点一已知椭圆 C：x24 y231，M，N 是坐标平面内的两点，且 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|()A4 B8 C12 D16解析：选 B 设 MN 的中点为 D，椭圆
6、C 的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接 DF1，DF2，因为 F1 是 MA 的中点，D 是 MN的中点，所以 F1D 是MAN 的中位线，则|DF1|12|AN|，同理|DF2|12|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8.2.考点一(2017浙江金丽衢十二校联考)若椭圆 C：x29 y221 的焦点为 F1，F2，点 P在椭圆 C 上，且|PF1|4，则F2PF1()A.6B.3C.23D.56解析：选 C 由题意得 a3，c 7，则|PF2|2a|PF1|2.在F2PF1 中，由余弦定理
7、可得 cosF2PF142222 7224212.又F2PF1(0，)，F2PF123.3.考点二已知中心在原点，焦点坐标为(0，2 6)的椭圆被直线 3xy20 截得的弦的中点的横坐标为13，则该椭圆的方程为_解析：根据题意可设椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b2a2)x212b2x4b2a2b20，则可得弦的中点的横坐标为6b29b2a2，即6b29b2a213，又 a2b224，解得 a227，b23，所以椭圆的方程为y227x23 1.答案：y227x23 14.考点二已知椭圆的焦点在 x 轴上，一个顶点为 A(0，1)，其右焦点到直线 xy2 2
8、0 的距离为 3，则椭圆的方程为_解析：据题意知 b1，故可设椭圆方程为x2a2y21.设右焦点为(c,0)(c0)，它到已知直线的距离为|c2 2|23，解得 c 2，所以 a2b2c23，故椭圆的方程为x23 y21.答案：x23 y215.考点一、二已知椭圆的两焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆上一点，且 2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点 P 在第二象限，F2F1P120，求PF1F2 的面积解：(1)依题意得，c1，|F1F2|2.2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a，a2，则 b23.椭圆焦点在 x 轴上，所求椭圆的
9、方程为x24 y231.(2)设 P 点坐标为(x，y)，x0，F2F1P120，PF1 所在直线的方程为 y 3(x1)则解方程组y 3x1，x24 y231，可得x85，y3 35.SPF1F212|F1F2|3 35 3 35.突破点(二)椭圆的几何性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率eca，且 e(0,1)a
10、，b，c 的关系c2a2b2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围求解方法有以下三种：(1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值(2)构造 a，c 的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率例 1(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线
11、 yb2与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析 将 yb2代入椭圆的标准方程，得x2a2b24b21，所以 x 32 a，故 B 32 a，b2，C32 a，b2.又因为 F(c,0)，所以 BF c 32 a，b2，CF c 32 a，b2.因为BFC90，所以 BF CF 0，所以c 32 a c 32 a b220，即 c234a214b20，将 b2a2c2 代入并化简，得 a232c2，所以 e2c2a223，所以 e 63(负值舍去)答案 63易错提醒在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根 依据椭
12、圆性质求值或范围(最值)与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种：(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围例 2 已知动点 P(x，y)在椭圆x225y2161 上，若 A 点的坐标为(3,0)，M 为平面内一点，|AM|1，且 PM AM 0，则|PM|的最小值为_解析 由|AM|1，A(3,0)，知点 M 在以 A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，PM AM 0 且 P 在椭圆上运动，PMAM，即 PM 为圆
13、 A 的切线，连接 PA(如图)，则|PM|PA|2|AM|2|PA|21，当|PA|minac532 时，|PM|min 3.答案 3易错提醒求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.考点一设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16解析：选 A 如图，设 PF1 的中点为 M，连接 PF2.因为 O 为 F1F2的中点
14、，所以 OM 为PF1F2 的中位线所以 OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|，|F1F2|3|PF2|.由椭圆定义得 2a|PF1|PF2|3|PF2|，即 a3|PF2|2，2c|F1F2|3|PF2|，即 c 3|PF2|2，则 eca 3|PF2|223|PF2|33.2.考点一设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 为直线 y2b上的一点，F1MF2 是等边三角形，则椭圆 C 的离心率为()A.714B.77C.2 77D.3 714解析：选 C 因为F1MF2 是等边三角形，故 M(0,2b)，
15、|MF1|F1F2|，即 4b2c22c，即 4b2c24c2，又 b2a2c2，所以 4(a2c2)c24c2，即 4a27c2，则 e2c2a247，故 e2 77(负值舍去)，故选 C.3.考点二已知点 F1，F2 分别是椭圆 x22y22 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF 2PF|的最小值是()A0 B1 C2 D2 2解析：选 C 设 P(x0，y0)，由题可知 F1(1,0)，F2(1,0)，则1PF(1x0，y0)，2PF(1x0，y0)，1PF 2PF(2x0，2y0)，|1PF 2PF|4x204y202 22y20y202 y202.点 P 在椭圆上
16、，0y201，当 y201 时，|1PF 2PF|取最小值为 2.4.考点二如图，圆 O 与离心率为 32 的椭圆 T：x2a2y2b21(ab0)相切于点 M(0,1)，过点 M 引两条互相垂直的直线 l1，l2，两直线与两曲线分别交于点 A，C 与点 B，D(均不重合)若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 d1，d2，则 d21d22的最大值是()A4 B5 C.163D.253解析：选 C 易知椭圆 C 的方程为x24 y21，圆 O 的方程为 x2y21，设 P(x0，y0)，因为 l1l2，则 d21d22PM2x20(y01)2，因为x204 y201，所以 d2
17、1d2244y20(y01)23y0132163，因为1y01，所以当 y013时，d21d22取得最大值163，此时点P4 23，13.5.考点一已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2y21(a0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A，B 两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_解析：因为椭圆x2a2y21(a0)的焦点在 x 轴上，所以 c a21，又过右焦点且垂直于 x 轴的直线为 xc，将其代入椭圆方程中，得c2a2y21，则 y 1c2a2，又|AB|1，所以 21c2a21，得c2a234，所以该椭圆的离心率 eca 32(负值舍去)答案：32全国卷 5 年真题集中演练明
18、规律1.(2016全国乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选 B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点 F(c,0)，则直线 l的方程为xcyb1，即 bxcybc0.由题意知|bc|b2c2142b，又 a2b2c2，所以ca12，即 e12.故选 B.2(2016全国丙卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M
19、，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选 A 如图所示，由题意得 A(a，0)，B(a,0)，F(c,0)设 E(0，m)，由 PFOE，得|MF|OE|AF|AO|，则|MF|maca.又由 OEMF，得12|OE|MF|BO|BF|，则|MF|mac2a.由得 ac12(ac)，即 a3c，所以 eca13.故选 A.3(2013新课标全国卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x2
20、45y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291解析：选 D 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去 y，得a24 b2 x232a2x94a2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24 b2 1，即 a22b2，又 a2b2c2，所以 b29，a218，即 E 的方程为x218y291.4(2012新课标全国卷)设 F1，F2 是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为直线 x3a2 上一点，F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E
21、 的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：选 C 由题意可得|PF2|F1F2|，PF2x2PF1F260，所以 232ac 2c，所以 3a4c，所以 eca34.课时达标检测重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力1已知椭圆x225 y2m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m()A2 B3 C4 D9解析：选 B 由左焦点为 F1(4,0)知 c4.又 a5，所以 25m216，解得 m3 或3.又 m0，故 m3.2在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定点 F(1,0)的距离与 P 到定直线 x4 的距离的比值为12.则动点 P 的轨迹
22、 C 的方程为()A.x23 y241 B.x24 y231C.x23 y221 D.x22 y231解析：选 B 设点 P(x，y)，由题意知 x12y2|x4|12，化简得 3x24y212，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x24 y231，故选 B.3已知椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，离心率为 32，过点 F2 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且MNF1 的周长为 8，则椭圆 C 的焦距为()A4 B2 C2 3D2 2解析：选 C 由题意得|MF1|NF1|MN|MF1|NF1|MF2|NF2|(|MF1|MF2|)(|NF1|NF2|)2a2a8，解得
23、 a2，又 eca 32，故 c 3，即椭圆 C 的焦距为 2 3，故选 C.4如图，椭圆x2a2y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则 a 的值为()A2 B3 C4 D5解析：选 B 由题可知 b22，则 c a22，故|F1F2|2 a22，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，则|PF2|2a4，由余弦定理得 cos 120422a422 a222242a412，化简得 8a24，即 a3，故选 B.5椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，短轴长为 4，则椭圆的方程为_解析：由题意可知 eca 32，2b4，得 b
24、2，ca 32，a2b2c24c2，解得a4，c2 3，椭圆的标准方程为x216y241.答案：x216y241练常考题点检验高考能力一、选择题1已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于13，则椭圆 C 的方程是()A.x24 y231 B.x24 y231C.x24 y221 D.x29 y281解析：选 D 依题意，设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，所以c1，ca13，c2a2b2，解得a29，b28.故椭圆 C 的方程为x29 y281.2椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，左、右焦点分别为 F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|
25、F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()A.12B.55C.14D.52解析：选 A 由题意可得 2|F1F2|AF1|F1B|，即 4cacac2a，故 eca12.3已知圆 C1：x22cxy20，圆 C2：x22cxy20，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，若圆 C1，C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A.12，1B.0，12C.22，1D.0，22解析：选 B 圆 C1，C2 都在椭圆内等价于圆 C2 的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需2ca，c2a2c2b21，又 b2a2c2，0ca12.即椭圆离心率的取值范围是0，124已知椭圆x2a2y2
26、b21(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为 21.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切，则椭圆 C 的方程为()A.x23 y221 B.x24 y221C.x22 y21 D.x26 y221解析：选 C 由题意知 ac 21，又 b2111，由b1，a2c2b2，ac 21得 a22，b21，故 c21，椭圆 C 的方程为x22 y21，故选 C.5已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范
27、围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1解析：选 A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.又 d|304b|324245，所以 1b2，所以 eca1b2a21b24.因为 1b2，所以 0e 32.6已知 F1，F2 为椭圆 C：x29 y281 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点，1EF 2EF的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7 C9,8 D17,8解析：选 B 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(1，0)，F2(1,0)，设 E(x，y)，则1EF(1x，y)，2EF(
28、1x，y)，1EF 2EF x21y2x21889x219x27(3x3)，所以当 x0 时，1EF 2EF 有最小值 7，当 x3 时，1EF 2EF 有最大值 8，故选 B.二、填空题7若椭圆的方程为x210a y2a21，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a_.解析：由题可知 c2.当焦点在 x 轴上时，10a(a2)22，解得 a4.当焦点在 y 轴上时，a2(10a)22，解得 a8.故实数 a4 或 8.答案：4 或 88点 P 是椭圆x225y2161 上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且PF1F2 的内切圆半径为 1，当 P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_解析：由题意知，|P
29、F1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F212(|PF1|PF2|F1F2|)112|F1F2|yP3yP8，所以 yP83.答案：839已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率等于13，其焦点分别为 A，B.C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC 中，sin Asin Bsin C的值等于_解析：在ABC 中，由正弦定理得sin Asin Bsin C|CB|CA|AB|，因为点 C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以sin Asin Bsin C2a2c1e3.答案：310.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2
30、，焦点分别为 F1，F2，延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点，若B1PA2 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_解析：设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，B1PA2 为钝角可转化为22B A，21F B 所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即 b2ac，则 a2c2ac，故 ca2ca10，即 e2e10，e 512或 e 512，又 0e1，所以 512e1.答案：512，1三、解答题11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x
31、 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为43，13，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值解：设椭圆的焦距为 2c，则 F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为 B(0，b)，所以 BF2b2c2a.又 BF2 2，故 a 2，即 a22.因为点 C43，13 在椭圆上，所以1692 19b21，解得 b21.故所求椭圆的方程为x22 y21.(2)因为 B(0，b)，F2(c,0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为xcyb1.解方程组xcyb1，x2a2y2b21，得x1 2a2ca2c2，y1bc2a2a2c2，x20
32、，y2b.所以点 A 的坐标为2a2ca2c2，bc2a2a2c2.又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2ca2c2，ba2c2a2c2.因为直线 F1C 的斜率为ba2c2a2c2 02a2ca2c2cba2c23a2cc3，直线 AB 的斜率为bc，且 F1CAB，所以ba2c23a2cc3bc 1.结合 b2a2c2，整理得 a25c2.故 e215.因此 e 55(负值舍去)12.已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：
33、(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 dbcb2c2bca，由 d12c，得 a2b2 a2c2，解得离心率 eca 32.(2)由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且|AB|10.易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124b214k2.由 x1x24，得8k2k114k2 4，解得 k12.从而 x1x282b2.于是|AB|1 122|x1x2|52x1x224x1x2 10b22.由|AB|10，得 10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为 x24y212，即x212y231.