1、7.2平面向量的数量积及向量的综合应用基础篇【基础集训】考点一平面向量的数量积1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),则ABBC=()A.6B.-6C.-1D.1答案B2.已知a=(-1,3),b=(m,m-4),c=(2m,3),若ab,则bc=()A.-7B.-2C.5D.8答案A3.已知|a|=1,|b|=2,且a(a+b),则a在b方向上的投影为()A.-1B.1C.-12D.12答案C考点二平面向量数量积的应用4.已知向量a=(3,0),b=(0,-1),c=(k,3),若(a-2b)c,则k=()A.2B.-2C.32D.-32答案B5.已知单位向量e1,e2的夹角为,且
2、tan=22,若向量m=2e1-3e2,则|m|=()A.9B.10C.3D.10答案C6.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,则|2a-b|a(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.54答案B8.已知ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B教师专用题组【基础集训】考点一平面向量的数量积1.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b
3、满足2a+b=0,ab=-2,则(3a+b)(a-b)=()A.1B.3C.4D.5答案B2a+b=0,a与b的夹角为,且|b|=2|a|,又ab=-2,|a|b|cos=-2,|a|=1,|b|=2,故(3a+b)(a-b)=3|a|2-2ab-|b|2=31-2(-2)-4=3.2.(2018河南新乡二模,5)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则mn=()A.0B.4C.-92D.-172答案D向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,2k-1-4k=0,解得k=-12,m=-2,-12,mn=-24+-121=-172.故选D.3.(2017曲一线命题专家高考模
4、拟磨尖卷四沈阳卷,15)若a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-3b在向量b方向上的投影为.答案-3解析向量a-3b在向量b方向上的投影为(a-3b)b|b|=ab-3b2|b|=-3b2|b|=-3.思路分析利用投影的定义,求(a-3b)b|b|的值.考点二平面向量数量积的应用1.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,若(a+mb)a,则实数m的值为()A.1B.32C.2D.3答案D因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,所以ab=|a|b|cos120=32-12=-3,因为(a+mb)a,所以(a+mb)a=a2
5、+mab=32-3m=0,解得m=3,故选D.2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,ab=35.若mR,则|a+mb|的最小值是()A.34B.43C.45D.54答案C由题意得|a+mb|2=a2+2mab+m2b2=1+65m+m2=m+352+1625,故当m=-35时,|a+mb|2取得最小值,为1625,此时|a+mb|取得最小值,为45,故选C.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120,c(4a+b)=5,则|c|=()A.1B.5C.2D.25答案D由题意可知,|a|=5,|b|=35,ab,且a与b方向相反.由c
6、(4a+b)=5,可得4ac+bc=5,由c与b的夹角为120可得c与a的夹角为60,所以bc=|b|c|cos120=-352|c|,ac=|a|c|cos60=52|c|.所以452|c|+-352|c|=5,解得|c|=25,故选D.4.(2018湖北宜昌二模,7)已知ABC中,A=120,且AB=3,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为()A.2215B.103C.6D.127答案A因为AP=AB+AC,且APBC,所以有APBC=(AB+AC)(AC-AB)=ABAC-AB2+AC2-ABAC=(-1)ABAC-AB2+AC2=0,整理可得(-1)34cos120-
7、9+16=0,解得=2215,故选A.解题关键解答本题的关键是由题意得出APBC=(AB+AC)(AC-AB)=0,进而求得的值.5.(2017重庆育才中学模拟,6)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB,若在该圆上存在一点C,使得OC=aOA+bOB(a、bR),则以下说法正确的是()A.点P(a,b)一定在单位圆内B.点P(a,b)一定在单位圆上C.点P(a,b)一定在单位圆外D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上答案B易知|OC|=a2OA2+b2OB2+2abOAOB=1.OAOB,|OA|=|OB|=1,|OC|=a2+b2=1,OP=a2+b2=
8、1,又圆的半径为1,点P一定在单位圆上.故选B.6.(2018江西九江二模,6)在RtABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足PC=kBC,当PMPN取得最小值时,实数k的值为()A.12B.13C.14D.18答案C建立平面直角坐标系,如图所示,设AB=AC=3,P(x,3-x)(0x3),则M(1,0),N(2,0),PM=(1-x,x-3),PN=(2-x,x-3),则PMPN=2x2-9x+11=2x-942+78,当x=94时,PMPN取得最小值,此时P94,34,k=PCBC=14.故选C.7.(2018河北唐山二模,7)在ABC中,C=90,
9、AB=6,点P满足CP=2,则PAPB的最大值为()A.9B.16C.18D.25答案BC=90,AB=6,CACB=0,|CA+CB|=|CA-CB|=|BA|=6,PAPB=(PC+CA)(PC+CB)=PC2+PC(CA+CB)+CACB=PC(CA+CB)+4,当PC与CA+CB方向相同时,PC(CA+CB)取得最大值26=12,PAPB的最大值为16.故选B.8.(2017甘肃嘉峪关二模,7)若等边ABC的边长为3,平面内一点M满足CM=13CB+12CA,则AMMB的值为()A.2B.-152C.152D.-2答案A如图所示,A32,0,B0,332,C-32,0,CB=32,33
10、2,CA=(3,0),CM=13CB+12CA=1332,332+12(3,0)=2,32,OM=OC+CM=12,32,AM=OM-OA=-1,32,MB=OB-OM=-12,3,AMMB=-1-12+323=2,故选A.思路分析建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.方法总结向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法,因此,在解题时应充分重视.9.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CMCN的取值范围是()A.-34,0B.-1,1)C.-12,1D.-1,0)答案A如图,连
11、接OC.CMCN=(OM-OC)(ON-OC)=OMON-OMOC-OCON+OC2=OMON+OC2=-1+OC2,AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,|OC|12,1,CMCN-34,0,故选A.解题关键题中的隐含条件OMON=-1,OM+ON=0是解题关键.10.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为.答案23解析设a与b的夹角为,因为a(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0,又因为2|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos=0,即1+2cos=0,所以cos=-
12、12,从而=23.11.(2017宁夏银川质检,13)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点E为DC的中点,则AEBE=.答案-3解析解法一:由已知,可得AE=AD+DE=AD+12DC,BE=BC+CE=AD-12DC,AEBE=AD+12DCAD-12DC=AD2-14DC2=1-4=-3.解法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),E(2,1),AE=(2,1),BE=(-2,1),AEBE=-4+1=-3.思路分析解法一利用平面向量的几何性质解题,解法二通过建立平面直角坐标系,求出各点坐标,利用向量的坐
13、标运算解题.解法一侧重于逻辑推理,对思维能力要求较高,解法二的解题关键是建立恰当的平面直角坐标系,侧重于计算,思路简单.两种解法各有优劣,可根据实际情况灵活选用.12.(2016北京朝阳期中,7)在ABC中,已知ABAC=4,|BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AMAN的值是()A.5B.214C.6D.8答案C解法一:如图,设BC的中点为O,连接AO.由ABAC=4,|BC|=3,可得(AO+OB)(AO+OC)=(AO+OB)(AO-OB)=AO2-OB2=AO2-322=4,AO2=254.AMAN=(AO+OM)(AO+ON)=(AO+OM)(AO-OM)=AO2-OM2=
14、254-122=6.故选C.解法二:|BC|=3,|AC-AB|2=9.AC2+AB2-2ACAB=9,又ABAC=4,AC2+AB2=17.又AN=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,AM=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,AMAN=13AB+23AC23AB+13AC=29(AC2+AB2)+59ABAC=2179+549=6.13.(2018北京通州期中,13)在ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,则PA(PB+PC)的值为.答案-4解析AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,|AP|=2.M是B
15、C的中点,PB+PC=2PM=AP,PA(PB+PC)=PAAP=-|AP|2=-4.综合篇【综合集训】考法一求向量模的方法1.(2019甘肃静宁一中三模)已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=52,则|b|=()A.2B.5C.2D.5答案D2.(多选题)(2020山东临沂、枣庄临考演练,9)设向量a=(2,0),b=(1,1),则()A.|a|=|b|B.(a-b)bC.(a-b)bD.a与b的夹角为4答案CD3.(2020浙江温州二模(4月),12)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=1,则|a+b|=,b在a上的投影等于.答案7;124.(2020浙江绍兴嵊州期末
16、,16)已知单位向量a,b满足|a-2b|=|2b|,设向量c=a+x(2b-a),x0,1,则|c+a|的取值范围是.答案152,6考法二求平面向量夹角的方法5.(2020山东青岛期末,3)向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)(2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45B.60C.90D.120答案C6.(2020皖江名校联盟第五次联考,6)已知单位向量a满足2|a|=|b|,|a+2b|=13,则a与b的夹角为()A.30B.60C.90D.120答案D7.(多选题)(2020山东泰安二模,10)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正
17、数,且(a-b)c,下列说法正确的是()A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影为55C.2m+n=4D.mn的最大值为2答案CD8.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.答案33教师专用题组【综合集训】考法一求向量模的方法1.(2019吉林第一次调研,5)已知等边ABC的边长为2,则|AB+2BC+3CA|=()A.23B.27C.43D.12答案A由题意得ABBC=-2,CAAB=-2,BCCA=-2,则|AB+2BC+3CA|2=AB2+4BC2+9CA2+4ABBC+6ABCA+12BCCA=4+1
18、6+36-8-12-24=12,|AB+2BC+3CA|=23.故选A.2.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为23,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(xR且x0,yR),则xc的最大值为()A.33B.3C.13D.3答案Ax2|c|2=x24x2-4xy+4y2=14yx2-4yx+4,当yx=-424=12时,4yx2-4yx+4取得最小值,且最小值为3,所以x2|c|2的最大值为13,则所求最大值为33.3.已知在ABC中,D为BC的中点,若BAC=120,ABAC=-1,则|AD|的最小值为()A.12B.22C.2D.32答案B显然有|AD|=12|A
19、B+AC|.因为ABAC=-1,BAC=120,所以|AB|AC|=ABACcosBAC=2,可得|AD|2=14(|AB|2+|AC|2-2)14(2|AB|AC|-2)=12,所以|AD|min=22.4.已知a、b均为单位向量,且ab=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是()A.3,10B.3,5C.3,4D.10,5答案Ba、b均为单位向量,且ab=0,设a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),由|c-4a|+|c-3b|=5,得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离之和为5,令c的起点为坐标原点O
20、,则c的终点的轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,又|c+a|=(x+1)2+y2表示M(-1,0)到线段AB上的点的距离,且最小值是点M(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,|c+a|min=|-3-12|5=3.又最大值为|MA|=5,|c+a|的取值范围是3,5.故选B.5.(2018河北衡水中学六调,8)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m0,n0),若m+n1,2,则|OC|的取值范围是()A.5,25B.5,210)C.(5,10)D.5,210答案BOA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB=(3m+n,m-3n),
21、则|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2),令t=m2+n2,则|OC|=10t,而m+n1,2,即1m+n2,又m0,n0,故在平面直角坐标系中表示如图(阴影区域不包括横轴与纵轴的相应部分),t=m2+n2表示阴影区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得,22t2.结合|OC|=10t,得5|OC|210.故选B.考法二求向量夹角的方法1.已知|a|=10,ab=-5302,且(a-b)(a+b)=-15,则向量a与b的夹角为()A.23B.34C.56D.3答案C设a与b的夹角为.(a-b)(a+b)=-15,a2-b2=-15,又|a|=10,|b|=5.又ab
22、=-5302,cos=ab|a|b|=-5302105=-32,又0,=56.故选C.2.已知i、j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且a、b的夹角为锐角,则实数的取值范围是()A.-,12B.12,+C.-2,2323,+D.(-,-2)-2,12答案D由题意知a=(1,-2),b=(1,),因为a、b的夹角为锐角,所以cos=ab|a|b|=1-251+20,且a与b不共线,即12且-2.故选D.3.a,b是非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.试求a与b的夹角.解析解法一:设a与b的夹角为.由题意知(a+3b)(7a-5b)=0,(
23、a-4b)(7a-2b)=0,7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0,由-得46ab-23b2=0,所以b2=2ab.将代入得a2=2ab,|a|=|b|,由b2=2ab可知|b|2=2|a|b|cos,cos=12,0180,=60,即向量a与b的夹角为60.解法二:设a与b的夹角为.由题意知(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0,7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0,15+8得|a|=|b|,由得7|a|2+16|a|b|cos-15|b|2=0,7+16cos-15=0,cos=12,0180,=60,即向量a与b的夹角为60.