1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷时间：120分钟 满分：150分姓名： 班级： 得分： 题 号一二三四总分得 分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。1若，下列命题正确的是（）A若，则B，若，则C若，则D，若，则2如果实数满足，那么（）ABCD3已知x，y都是正数，若，则的最小值为（）ABCD14已知，则以下不等式不正确的是（）ABCD5若，且，则的最小值为（）A9B16C49D816已知，则下列说法正确的是（）A有最大值0B有最小值为0C有最大值为4D有最小值为47已知实数满足，且，则的值最小时，实数（）ABCD18已知实数
2、，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是()ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9下列说法正确的有（）A的最小值为2B任意的正数， 且，都有C若正数、满足，则的最小值为3D设、为实数，若，则的最大值为10已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）ABCD11已知，且，则（）A的最小值是B的最小值是C若恒成立，则实数的取值范围是D若恒成立，则正实数的取值范围是12已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）ABCD三、填空题：本大题共4小题
3、，每小题5分，共计20分。13已知实数，且，则的最大值为_14已知正实数a，b满足，则的最小值为_15若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_16几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段_的长度是
4、、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_.四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）解下列不等式：(1)；(2).18.（12分）设实数、，满足(1)求的取值范围；(2)若，求的最小值19.（12分）设.(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式.20.（12分）求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.21.（12分）已知均为正实数，且满足证明：(1)；(2)22.（12分）若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，（1）若比3接近1，求x
5、的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。1若，下列命题正确的是（）A若，则B，若，则C若，则D，若，则【答案】C【详解】对于A，当时，故A错误； 对于B，当时，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，当时，故D错误，故选：C.2如果实数满足，那么（）ABCD【答案】B【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，故B正确；对于C：因为，当时，故C错误；对于D：因为，即，故D错误；故选：B3已知x，y都
6、是正数，若，则的最小值为（）ABCD1【答案】B【详解】因为，所以因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“”故A，C，D错误.故选：B4已知，则以下不等式不正确的是（）ABCD【答案】D【详解】，故A正确；，即，故B正确；由可得，故C正确；因为，所以，所以，即故D错误.故选：D5若，且，则的最小值为（）A9B16C49D81【答案】D【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立故选：D6已知，则下列说法正确的是（）A有最大值0B有最小值为0C有最大值为4D有最小值为4【答案】B【详解】由题意，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立故，有最小值0故选：B7已知实数满足，
7、且，则的值最小时，实数（）ABCD1【答案】A【详解】设，解得 ，所以 ，即，设，则，即，当且仅当，即时取等号，即，则的值最小时，实数，故选:8已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是()ABCD【答案】A【详解】由题可得：，.由，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9下列说法正确的有（）A的最小值为2B任意的正数， 且，都有C若正数、满足，则的最小值为3D设、为实数，若，则的最大值为【答案】BCD【详解】
8、选项A： ，当 时， ，当且仅当时有最小值.故A不正确.选项B： 对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，当且仅当 时取得最大值.所以 ，当且仅当时取得最大值.故B正确.选项C：对于正数， ,所以所以 当且仅当 ，即时取得最小值.故C正确.选项D：因 所以 ，即 所以 ，当且仅当 时等号成立.故D正确.故选：BCD.10已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】ABD【详解】，即的解集为，可知，且，故A，D正确，故C错误，由对称性可知，故B正确，故选：ABD11已知，且，则（）A的最小值是B的最小值是C若恒成立，则实数的取值范围是D若恒成立，则正实数的取值范围是【答案
9、】ABCD【详解】对于A因为，且，则，可得，解得或（舍去）则，当且仅当，取等号故最小值为，故A正确；对于B因为，且，则，则，当且仅当，取等号故最小值为，故B正确；对于C，当且仅当取等号，所以不等式恒成立，转化为，解得，故C正确；对于D因为，则，将不等式变形得到恒成立，当时，取等号，故，D正确故选：ABCD12已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】ACD【详解】由题设，的解集为，则，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，由图知：，故B错误，C正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13已知
10、实数，且，则的最大值为_【答案】【详解】由，所以，又由，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为：.14已知正实数a，b满足，则的最小值为_【答案】【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号.故答案为：15若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【详解】根据题意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得。16几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB
11、为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段_的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_.【答案】 【详解】依题意，由直角三角形射影定理得，即，而点C与点O不重合，在中，即，则，在中，因，由直角三角形射影定理得，又，则，即，所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为.故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【解析】(1)因
12、为， 所以方程有两个不等实根x11，x23. 所以原不等式的解集为或.(2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1x2所以原不等式的解集为.18.（12分）设实数、，满足(1)求的取值范围；(2)若，求的最小值【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：因为，.当且仅当，时，；当且仅当，时，.因此，的取值范围是.(2)解：因为，当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为.19.（12分）设.(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.（2）由题意
13、可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，当时，当，解集，当，解集为或，当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.20.（12分）求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)设依题意有，即，得(2)设依题意有，解得(3)设方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得，即有一个正根，一个负根，此时可得，得有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得21.（12分）已知均为正实数
14、，且满足证明：(1)；(2)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)均为正实数，则当且仅当时取“”，同理可得：，当且仅当，时等号成立，故当且仅当时取“”，又，故.(2) 当且仅当时取“”，同理当且仅当时取“”，当且仅当时取“”又由，可知当且仅当时取“”所以，故当且仅当时取“”22.（12分）若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，（1）若比3接近1，求x的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【详解】（1）因为比3接近1，故，故，故，所以.（2）取，则，故比接近.但，故“比接近”推不出“”.所以“比接近”是“”不充分条件.若，则，故，所以或，若，则且，故，所以，故，所以，也就是“比接近”.若，则且，故，所以，故，所以，故“比接近”是“”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，即证：，即证：，即证：，因为，因为，故，故，所以成立，故比接近