1、2.3基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lgx(x0)B.sinx+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案C本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x2+142x214=x,当且仅当x=12时,取“=”,故A不正确;对于B,当x(,2)时,sinx0,y0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为()A.14B.15C.19D.112答案Cxy2x+y=12y+1x,x0,y0,x+2y=1,1x+2y=1x+2y1=1x+2y(x
2、+2y)=5+2yx+2xy5+22yx2xy=5+4=9,当且仅当2yx=2xy,x+2y=1,即x=y=13时,取“=”,12y+1x19,故xy2x+y的最大值为19,选C.3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+2x+4x2(x0)的最小值为()A.4+22B.42C.8D.2+2答案Ax0,f(x)=x2+x+2x+4x2=x2+4x2+x+2x2x24x2+2x2x=4+22,当且仅当x2=4x2,x=2x,即x=2时取“=”,f(x)min=4+22,故选A.4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a0,b0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最
3、小值是()A.32B.22C.3D.2答案Ba0,b0,a+11,b+11,又1a+1+1b+1=1,a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)1a+1+1b+1-3=1+2(b+1)a+1+a+1b+1+2-322(b+1)a+1a+1b+1=22,当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1时取“=”,故选B.5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最大值是()A.63B.233C.433D.-433答案D由题意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两根.由根与系数的关系得x1
4、x2=3a2,x1+x2=4a,x1+x2+ax1x2=4a+13a,a0,b0,p=fa2+b22,q=fa+b22,r=f(ab),则()A.qrpB.qprC.rpqD.rqp答案D因为a2+b22-a+b22=2a2+2b24-a2+b2+2ab4=(a-b)240,所以a2+b22a+b22,又a+b2ab(a0,b0),所以a+b22ab.易得函数f(x)=x2ex在(0,+)上单调递增,所以f(ab)fa+b22fa2+b22,即rqp.7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a2,b2,则a2b-2+b2a-2的最小值为()A.2B.4C.6D.16答案D因为a2,b2,所以
5、a-20,b-20.令x=b-2,y=a-2,则x0,y0.原式=(y+2)2x+(x+2)2y2(y+2)2x(x+2)2y=2xy+2(x+y)+42xy2(xy+4xy+4)2xy=2xy+4xy+4xy2=2xy+4xy+4222xy4xy+42=16.当且仅当x=y=2时取等号.故选D.思路分析利用换元思想,设x=b-2,y=a-2,则x0,y0,将原式化为(y+2)2x+(x+2)2y,两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当1a+25b取最小值时
6、,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案D由已知得a+b=18,则1a+25b=1a+25ba+b18=1181+25+ba+25ab118(26+10)=2,当且仅当b=5a时取等号,此时a=3,b=15,可得n=9.故选D.9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=2x-12x+1+x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值是()A.1B.92C.9D.18答案A因为f(x)=2x-12x+1+x+sinx,所以f(-x)=2-x-12-x+1-x-sinx=-2x-12x+1+x+sinx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数
7、,易知f(x)单调递增,又正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=194+ba+4ab+1=195+ba+4ab19(5+24)=1,当且仅当ba=4ab,即b=2a=3时,取等号.故选A.10.(2020黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为()A.8B.4+23C.5+23D.43答案Ba,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+a
8、b+cd2ab+2ab2cd+ab+cd=4+3ab+cd4+23abcd=4+23,当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=1314,c=d=314时取等号,a2+b2+m的最小值为4+23.故选B.11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是()A.若ab0,cdadB.若xy0,且xy=1,则x+1yy2xlog2(x+y)C.设an是等差数列,若a2a10,则a2a1a3D.若x0,+),则ln(1+x)x-18x2答案AC对于A,cd-d0,-1d-1c0,又ab0,-ad-bc0,bcad,故A正确;对于B,xy0,且xy=1,可取x=2,y=12,此时x
9、+1y=4,y2x=124=18,log2(x+y)=log252log22=1,故不满足x+1yy2xlog2(x+y),故B不正确;对于C,an是等差数列,a2=a1+a32.又a3-a2=a2-a10,a3a2a10,a1+a32a1a3,即a2a1a3,故C正确;对于D,令f(x)=ln(1+x)-x+18x2,x0,则f(x)=11+x-1+14x=1-(1+x)+14x(1+x)1+x=14x2-34x1+x=x2-3x4(1+x),x0,令f(x)0,可得x3,令f(x)0,可得0x3,因此函数f(x)=ln(1+x)-x+18x2在0,3)上为减函数,在3,+)上为增函数,f(
10、0)=ln1-0+0=0,当x(0,3时,f(x)a可得x-a0,则x-a+4x-a2(x-a)4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a4,可得a1,故a的最小值为1.13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知a2+2a+2x4x2-x+1对于任意的x(1,+)恒成立,则a的取值范围是.答案-3,1解析由已知a2+2a+2x4x2-x+1对于任意的x(1,+)恒成立可知,a2+2a+24x-1+x对于任意的x(1,+)恒成立,令g(x)=4x-1+x,x1,则g(x)=4x-1+x-1+124x-1(x-1)+1=5,当且仅当x=3时取“=”,a2
11、+2a+2g(x)min=5,a2+2a-30,-3a1,故答案为-3,1.14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sinx-3对任意xR恒成立,则实数a的取值范围是.答案-32,12解析令g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1t1,则原函数化为g(t)=(-at2+a-3)t,即g(t)=-at3+(a-3)t,由-at3+(a-3)t-3整理得(t-1)-at(t+1)-30,由t-10知,-at(t+1)-30,即a(t2+t)-3,当t=0,-1时该不等式恒成立,当0t1时,0t2+t2,a-3t2+tmax=-32;当-1t0时,-14t2+t0,a-3t2+tmin=12,从而可知-32a12.