1、易错点 17 解三角形 一、单选题 1.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若=3，=2，cos(+)=13，则 c 等于 A.4 B.15 C.3 D.17 2.已知 中，满足=2，=60的三角形有两解，则边长 a 的取值范围是 A.32 2 B.12 2 C.2 433 D.2 23 3.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos=(2 )cos，则 为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 4.的两边长分别为 2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 A.B.C.D.9 2 5.满足条件=4，=52，=45的 的
2、个数是 A.1 B.2 C.无数个 D.不存在 6.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.若=4，=7，BC 边上的中线 AD 的长为72，则边长=A.3 B.4 C.94 D.9 7.在ABC中，,分别为内角,所对的边，=且满足sinBsinA=1cosBcosA，若点O 是ABC外一点，AOB=(0 0 =17 故选：D 2.已知 中，满足=2，=60的三角形有两解，则边长 a 的取值范围是 A.32 2 B.12 2 C.2 433 D.2 23【答案】C【解析】解：若 有两解，=2，=60，由正弦定理及正弦函数的图像和性质，则需sin ，解得32 2 解得2 1，显然不成
3、立，所以这样的三角形不存在 故选 D 6.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.若=4，=7，BC 边上的中线 AD 的长为72，则边长=A.3 B.4 C.94 D.9【答案】D【解析】解：如图，是 BC 边上的中线，设=，则=2 =4，=7，=72，在 中，cos=72+2(72)227 在 中，49+249414=49+421628，解得=92 =2=9 故选 D 7.在ABC中，,分别为内角,所对的边，=且满足sinBsinA=1cosBcosA，若点O 是ABC外一点，AOB=(0 )，OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是 A.8+534 B.4+53
4、4 C.3 D.4+52 【答案】A【解析】解：中，=，=1，+=，即sin(+)=sin()=，=，又=，为等边三角形 =+=12 +12 2 sin 3 =12 2 1 +34(2+2 2 )=3+534=2(3)+534 0 ，3 3 23，故当 3=2 时，sin(3)取得最大值为 1，故的最大值为2+534=8+534，故选 A 8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为 36 万千米，月球轨道上点 P 与椭圆两焦点1，2构成的三角形12面积约为4803(万千米)2，12=3，则月球绕地球
5、运行轨道的一个标准方程为 A.2382+24036=1 B.2362+2142=1 C.2482+24836=1 D.2482+23624=1【答案】A【解析】解：设|1|=，|2|=，由椭圆定义可知：+=2，又椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为 36 万千米，则 =36，在 12中，由余弦定理得：(2)2=2+2 2cos3，由三角形12面积约为4803(万千米2)，12=3，得：12 sin3=4803，联立上述方程得：+=2 =3612 sin3=48032=2+2(2)2=2+2 2cos3，解得：2=14402=382 故选 A 二、填空题 9.在 中，若2=2+2，则=.【答案
6、】【解析】解：由2=2+bc+2得：，由余弦定理得：，因为，则，故答案为 10.在 中，已 知 =7，=8，=9，则 AC 边 上 的 中 线 长为 【答案】7 11.在正方体 1111中，点M，N分别是1，1的中点，则CM和1所成角的余弦值为_【答案】19【解析】解：取1的中点 P，连接1，1/，且1=，四边形1是平行四边形，1/，11=/=/，1、1共面，设其交点为 O，则11是异面直线 CM 与1所成的角，设正方体的棱长为 1，1=2+2=2+14=32，1=1=34，cos11=(34)2+(34)2123434=19，即直线 CM 与1所成角的余弦值是19 故答案为19 12.在锐角
7、 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsinsin=3 72，=4，+=5，则 的面积为_【答案】374 【解析】解：由正弦定理及sin sin sin=372，得sin=372，又=4，sin=378，为锐角三角形，cos=1 sin2=18，cos=2+222=2+(4)2(5)224=18，解得=1，=4，=4，=12 sin=12 1 4 378=374 故答案为374 三、解答题 13.在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 (1)=(1)求角 B 的大小；(2)在锐角三角形中，角，的对边分别为，若=23,=6+2,=2，求三角形，
8、的内角平分线的长【答案】解：(1)2 (1)=，由正弦定理可得：2(1)=，2 2=(+)，2=，在锐角 中，0，=12，=6；(2)=2=3，由正弦定理有：=，=6+23223=6+24，又三角形为锐角三角形，=512，=4，=12 =712，由正弦定理有：=sin =sin=22 14.如图，EFGH 是矩形，的顶点 C 在边 FG 上，点 A，B 分别是EF，GH 上的动点(的长度满足需求).设=，=，=，且满足+=(+)(1)求；(2)若=5，=3，求5+3的最大值【答案】解：(1)设=，=，=，由+=(+)，根据正弦定理和余弦定理得，+=(2+222+2+222)，化简整理得，2+2
9、=2，由勾股定理可得=2；(2)设=,0 2，由(1)可知，=，在 中，=，由=5，故5=，在 中，=，由=3，故3=，5+3=+=2sin(+4)，由4 +4 34 知，当+4=2，即=4 时，5+3取得最大值2 15.已知向量=(,)，=(3,)，()=(1)求()的单调递增区间；(2)在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c且=7,=3，若()=1，求 的周长【答案】解：(1)因为=(,)，=(3,)，()=3+cos2=32 2+12 2+12=sin(2+6)+12，由2+2 2+6 2+2，可得：3+6+，可得()的单调递增区间是：3+,6+，(2)由题意可得：sin(2+
10、6)=12，又0 ，所以6 2+6 136，所以2+6=56，解得=3，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则：2=2+2 2，所以=7，又=3，可得=3，故7=92+2 32，解得=1，所以=3，可得 的周长为4+7 16.如图所示，某镇有一块空地，其中=3，=33，=90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中 M，N 都在边 AB 上，且=30，挖出的泥士堆放在 地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场为安全起见，需在 的周围安装防护网 (1)当=32 时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使
11、 的面积最小？最小面积是多少？【答案】解：(1)=3，=33，=90，=60，=6 在 中，由余弦定理得：2=2+2 2 cos=274 =332 由正弦定理得：sin=sin，即32sin=33232，=+=60 是等边三角形 的周长=3=9 防护网的总长度为 9km(2)设=(0 60)，则=+30，=120 ，=90 在 中，由正弦定理得sin=sin，即32=3sin(120)=3sin(60+)=332sin(60+)，在 中，由正弦定理得sin=sin，即32=3sin(90)=3cos，=332cos，=12 sin=2716cossin(+60)=278sin(2+60)+43 当且仅当2+60=90，即=15 时，的面积取最小值为278+43=5427342