1、高考数学应用题的解法2009年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.2009年山东数学考试说明对实践
2、能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题. 由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一定困难.解答这类
3、问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化, 自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃.读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。函数,数列,不等式，排列组合、概率是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也时有出现.一般来说，可采用下列策略建立数学模型：（1）双向推理
4、列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型一、 建构函数模型的应用性问题 解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用1某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经
5、营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元（）若当销售价p为52元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面由题目的问题找到关键词“收支平衡”、
6、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润（）设该店的月利润为S元，有职工m名则又由图可知：所以， 由已知，当时，即解得即此时该店有50名职工（）若该店只安排40名职工，则月利润当时，求得时，S取最大值7800元当时，求得时，S取最大值6900元综上，当时，S有最大值7800元设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有解得所以，该店最早可在5年后还清债务，
7、此时消费品的单价定为55元点评求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型2某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量（）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表
8、示为日产量x（件）的函数；（）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解：（）当时，所以，每天的盈利额当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（）由（）知，当时，每天的盈利额为0当时，为表达方便，令，则故（等号当且仅当，即时成立）所以，（1）当时，（等号当且仅当时成立）（2） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）所以，所以，即（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润点评基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段3.某产品生产厂家根据以往的生
9、产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则(1)要使工厂有赢利，则有f(x)0.当0x5时，有0.4x2+3.2x2.80,得1x7,15时，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1x5时f(x)b,各
10、字母均为正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，当cb+时y2y3,由y2y1即y2最小，当bacb+时，y3y21时，才可对冲浪者开放.1, 0.2k,即有12k3t13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t3或9t15或210,2n2+40n720，解得2n18.由nN知从第三年开始获利.（2）年平均利润=402(n+)16.当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利616+48=144（万美元），此时n=6,f(n)=2(n10)2+128.当n=10时，f(n)|max=128.故第种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都
11、是144万美元，但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案.8.某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利润S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+
12、n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.当且仅当解得时取等号，此时最大利润Smax=1000(x+2y)=4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 解 设裁员人，可获得的经济效益为
13、万元,则 =依题意 0.又140420, 70210.(1)当0,即70,即140210时， , 取到最大值;OABvt2(1k)t4kt15 综上所述，当70140时，应裁员人；当140210时，应裁员人.在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射
14、该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）天数t病毒细胞总数N12345671248163264 已知：lg2=0.3010天数t病毒细胞总数N12345671248163264讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由两边取对数得 n27.5, 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为,由题意108，两边取对数得， 故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.11.在一很大的湖岸
15、边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在
16、水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且解得. 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(
17、t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g(0) 时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？ 讲解（1）g(t)为常数, 有g(0)-=0, g(0)= .(2) 我们易证得0t1t2, 则g(t1)-g(t2)=g(
18、0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)80% ？（）求使得60%成立的最小的自然数.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式由题可知：，所以，当时，两式作差得：又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以， 由上式可知：对于任意，均有即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求验证可知：当时，均有，而当时，由指数函数的单调性可知：当时，均有所以，从2000
19、年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%点评：（）中，也可通过估值的方法来确定的值2. 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全
20、部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且，化简可得. 解得.可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和
21、征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，从而（元）当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.5某人计划年初向银行贷款10万元用于买房他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作
22、为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元设每年还款x元则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第10次偿还的x元，在贷款全部付清
23、时的价值为元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比数列求和公式可得：其中所以，法2从另一个角度思考，我们可以分步计算考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱仍然设每年还款x元则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则不难得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有由此布列方程，得到同样的结果点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1分清单利、复利（即等差与等比）；2寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化
24、3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则 ，所以，当时，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，此时，（ii）当时，则对于任意正整数，均有，所以，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即 对于任意正整
25、数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，. 本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.7现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？讲解：
26、本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量则2，0.2，且（）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列由（）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以，由题，令0）.将点（4，5）代入求得p=.x2=y.将点（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：211.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的
27、架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是（2，6），设抛物线方程为y2=2px（p0），则36=2p2，p=9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.（2）盛水的容器在焦点处，A、F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|=（或|AF|=+2=）.故每根铁筋的长度是6.5 m.12.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝
28、，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于BF1F2为直角三角形，因而，|
29、F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （2.8+）4.05 cm，b=3.37 m.所求方程为+=1.13.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐
30、标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，2）在抛物线上，2=ax2，a=，方程即为y=x2让货船沿正中央航行.船宽16 m，而当x=8时，y=82=1.28 m，船体在x=8之间通过.由B（8，1.28），B点离水面高度为6+（1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，无法直接通过.又54.72=0.28（m），0.280.04=7，而1507=1050（t），要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.
