1、本章达标检测(满分:150 分;时间:120 分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,以棱 AB、AD、AA1所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 DC1的中点坐标为()A.(12,1,1)B.(1,12,1)C.(12,12,1)D.(12,1,12)2.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则()A.x=13,=1 B.=12,y=-4 C.x=2,y=-14 D.x=1,y=-1 3.已知三
2、棱锥 O-ABC,点 P 为平面 ABC 上的一点,且=12 +m-n(m,nR),则 m,n 的值可能为()A.m=1,n=-12 B.=12,n=1 C.m=-12,=1 D.=32,n=1 4.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,1=c,M 是 A1D1的中点,点 N 是 CA1上的点,且CNNA1=14,用 a,b,c 表示向量 的结果是()A.12 +B.15 +15 +45c C.15 310 15 D.45 +310 45c 5.已知=(1,2,3),=(2,-2,1),=(1,1,2),若点 D 是 AC 的中点,则 =()A.2 B.-32 C.
3、-3 D.6 6.给出以下命题,其中正确的是()A.直线 l 的方向向量为 a=(1,-1,2),直线 m 的方向向量为 b=(2,1,-12),则 l 与 m 垂直 B.直线 l 的方向向量为 a=(0,1,-1),平面 的法向量为 n=(1,-1,-1),则 l C.平面、的法向量分别为 n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则 D.平面 经过三个点 A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量 n=(1,u,t)是平面 的法向量,则 u+t=1 7.在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,PA=2,底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,E 为 BC 的
4、中点,则异面直线 BD 与PE 所成角的余弦值为()A.26 B.36 C.23 D.33 8.在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中,点 M 满足=x+y-(x+y-1),点 N 满足=+(1-),当 AM、BN 最短时,=(深度解析)A.-43 B.43 C.13 D.13 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分)9.给出下列命题,其中正确的有(深度解析)A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量 ab,则 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个
5、基底 C.A,B,M,N 是空间中的四个点,若,不能构成空间的一个基底,那么 A,B,M,N 四点共面 D.已知a,b,c是空间的一个基底,若 m=a+c,则a,b,m也是空间的一个基底 10.设几何体 ABCD-A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体,以下结论正确的有()A.1=-a2 B.11=2a2 C.1=a2 D.11=a2 11.正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,结论正确的有()A.AD 与 BC 所成的角为 30 B.AC 与 BD 所成的角为 90 C.BC 与面 ACD 所成角的正弦值为33 D.平面 ABC 与平面 BCD 的夹角的正切值是2 12.在长方体
6、ABCD-A1B1C1D1中,AB=23,AD=AA1=2,P、Q、R 分别是 AB、BB1、A1C 上的动点,下列结论正确的是()A.对于任意给定的点 P,存在点 Q,使得 D1PCQ B.对于任意给定的点 Q,存在点 R,使得 D1RCQ C.当 ARA1C 时,ARD1R D.当 A1C=3A1R 时,D1R平面 BDC1 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上)13.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=60,则1 =,|1|=.(本题第一空 3 分,第二空 2
7、分)14.如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB,点 M 为 PA 的中点,=.若 MNAD,则实数=.15.如图,在菱形 ABCD 中,AB=23,BAD=60,沿对角线 BD 将ABD 折起,使点 A、C 之间的距离为 32,若 P、Q 分别为线段 BD、CA 上的点,则线段 PQ 的最小值为 .16.如图所示,五面体 ABCDE 中,正ABC 的边长为 1,AE平面 ABC,CDAE,且 CD=12AE,设 CE 与平面 ABE 所成角为,AE=k(k0),若 6,4,则当 k 取最大值时,平面 BDE 与平面 ABC 夹角的正切值为 .四、解答题(本大题共 6 小题,共 70
8、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA平面 ABCD,M、N、R 分别是 AB、PC、CD 的中点.求证:(1)直线 AR平面 PMC;(2)直线 MN直线 AB.(用向量方法)18.(本小题满分 12 分)如图所示为一个半圆柱,E 为半圆弧 CD 上一点,CD=5.(1)若 AD=25,求四棱锥 E-ABCD 的体积的最大值;(2)有三个条件:4 =;直线与所成角的正弦值为23;sinsin=62.请你从中选择两个作为条件,求直线 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值.19.(本小题满分 12
9、分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为 PD 的中点.(1)求异面直线 AC 与 PB 之间的距离;(2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE平面 PAC,并求出 N 到 AB 和 AP 的距离.20.(本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点.(1)证明:PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 E-
10、ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,其中 CDAB,BCAB,侧面 ABE平面ABCD,且 AB=AE=BE=2BC=2CD=2,动点 F 在棱 AE 上,且 EF=FA.(1)试探究 的值,使 CE平面 BDF,并给予证明;(2)当=1 时,求直线 CE 与平面 BDF 所成角的正弦值.22.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,SAD 是等边三角形,平面 SAD平面ABCD,AB=1,E 为棱 SA 上一点,P 为棱 AD 的中点,四棱锥 S-ABCD 的体积为233.(1)若 E 为棱 SA 的中点,F 是 SB 的中点,求证:平面 P
11、EF平面 SCD;(2)是否存在点 E,使得平面 PEB 与平面 SAD 的夹角的余弦值为3010?若存在,确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.答案全解全析 一、单项选择题 1.D 由题意得,C1(1,1,1),D(0,1,0),根据中点坐标公式得 DC1的中点坐标为(12,1,12).故选 D.2.B 由题意可得,a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).(a+2b)(2a-b),R,使 a+2b=(2a-b),得1+2=(2-),4=3,4-=(-2-2),解得 =43,=12,=-4,故选 B.3.C =12 +m-n(m,nR),且 P、A、B、C
12、 四点共面,12+=1,即 =12,结合选项知只有 m=-12,n=-1 符合.故选 C.4.D 由题意可得,=1-1=45 1 12 =45(11+11+1)12=45 +310 45 1 =45 +310 45c,故选 D.5.D D 为 AC 的中点,=12(+)=(1,32,52),又=-=(-1,3,1),=(1)1+3 32+1 52=6.故选 D.6.A 对于 A,ab=2-1-1=0,ab,l 与 m 垂直,A 正确;对于 B,a 与 n 不共线,直线 l 不垂直平面,B 错误;对于 C,n1与 n2不共线,平面 与平面 不平行,C 错误;DA对于 D,=(-1,-1,1),=
13、(-1,3,0),由 n=-1-u+t=0,n=1+3=0,解得=13,=43,+=53,D 错误.故选 A.7.A PA底面 ABCD,PAAB,PAAD,又 ABAD,以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则 P(0,0,2),B(2,0,0),E(2,1,0),D(0,2,0),=(2,1,-2),=(-2,2,0).设异面直线 BD 与 PE 所成的角为,(0,2,则 cos=|=|-4+2-0|4+1+44+4+0=26,异面直线 BD 与 PE 所成角的余弦值为26.故选 A.8.A 由共面向量定理和共线向量定理可知,M平面
14、 BCD,N直线 AC,当 AM、BN 最短时,AM平面 BCD,BNAC,所以 M 为BCD 的中心,N 为 AC 的中点,此时,2|=2sin60=433,|=233,AM平面 BCD,MC平面 BCD,AMMC,|=|2-|2=22-(233)2=263.又=12(+),=12(+)=-12|2=43.故选 A.解题反思 本题考查空间向量数量积的计算,同时也涉及了利用共面向量和共线向量定理来判断四点共面和三点共线,确定动点的位置是解题的关键,也考查了计算能力.二、多项选择题 9.BCD 选项 A 中,根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,故 A 错误.选项B
15、 中,根据基底的概念,知 B 正确.选项 C 中,由,不能构成空间的一个基底,知,共面.又,均过点 B,所以 A,B,M,N 四点共面,故 C 正确.选项 D 中,已知a,b,c是空间的一个基底,则基向量 a,b 可以与向量 m=a+c 构成空间的另一个基底,故 D 正确.故选 BCD.解题反思 判断三个向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底,本题各选项中判断给出的向量是否共面是关键.10.AC 如图,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A1(0,0,a),C1(a,a,a),=(a,0
16、,0),=(0,a,0),11=(a,a,0),1=(0,a,-a),1=(-a,-a,-a),11=(-a,-a,0),1=-a2,11=a2,1=a2,11=-a2,故选 AC.11.BD 取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,由题意得,以 O 为原点,OC 所在直线为 x 轴,OD 所在直线为 y 轴,OA 所在直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 OC=1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),=(0,1,1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(1,0,-1),=(0,2,0).cos=|=122=12,异面直线 AD 与 B
17、C 所成的角为 60,故 A 错误;=0,ACBD,故 B 正确;设平面 ACD 的法向量为 t=(x,y,z),则=-=0,=-=0,取 z=1,得 x=1,y=1,t=(1,1,1),设 BC 与面 ACD 所成角为,则 sin=|cos|=|=223=63,故 C 错误;易知平面 BCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),设平面 ABC 的法向量为 m=(x,y,z),则=+=0,=+=0,取=1,得=1,=1,=(1,1,1),设两个平面的夹角为,则 cos=|cos|=|=33,sin=63,tan=2,平面 ABC 与平面 BCD 的夹角的正切值是2,故 D 正确.故选 BD.1
18、2.AD 如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),B(2,23,0),(0,23,0),(0,0,0),1(2,0,2),1(0,23,2),D1(0,0,2).设 P(2,a,0),a0,23,(2,23,b),b0,2.易知1=(2,23,-2).设 R(x1,y1,z1),1=1,0,1,即(x1-2,y1,z1-2)=(-2,23,-2),则 R(2-2,23,2-2),易得1=(2,a,-2),=(2,0,b),则1 =4-2b,当 b=2 时,D1PCQ,A 正确;1=(2 2,23,-2),1 =2(2-2)-2b,由 D1RCQ 得1 =0,即 4 4 2=0,得=
19、22+,0b2,1222+1,即121.故当 012时,不存在点 R 使得 D1RCQ,B 错误;=(2,23,2-2).若 ARA1C,则 1=(2,23,2-2)(-2,23,2)=4+12 4+4=0,解得=15,此时 1=(-25,235,85)(85,235,-25)=450,C 错误;A1C=3A1R,R(43,233,43),1=(43,233,-23),设平面 BDC1的法向量为n=(x,y,z),=(2,23,0),1=(0,23,2),则 =0,1=0,即-2-23=0,23+2=0,令=1,则=3,=(3,1,3),1 n=0,D1R平面 BDC1,D 正确.故选 AD.
20、三、填空题 13.答案 3;10 解析 设=a,=b,1=c,则由题意得|a|=1,|b|=1,|c|=2,ab=0,ac=1,bc=1,1 =(b+c)(a+b)=ba+b2+ca+cb=0+1+1+1=3,|1|=|a+b+c|=2+2+2+2+2+2=1+1+4+2+2+0=10.14.答案 4 解析 连接 AC,交 BD 于点 O,连接 OP,以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 PA=AB=2,则 A(2,0,0),(0,2,0),(22,0,22),(0,2,0),=(0,22,0),=(2,2,0),
21、设 N(0,b,0),则=(0,2,0).=,22=(2),=2-22,(0,2-22,0),=(-22,2-22,-22),MNAD,=1 2-4=0,解得=4.15.答案 322 解析 取 BD 的中点 E,连接 AE、EC,则 AEBD,ECBD,AE=EC=3,AC=32,AE2+CE2=AC2,AEEC,以 E 为原点,EB、EC、EA 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz,则C(0,3,0),A(0,0,3),=(0,-3,3),=(0,-3,3),设 P(a,0,0),则=(-a,3,0),则=+=(-a,3,0)+(0,-3,3)=(-a,3-
22、3,3),|=(-)2+(3-3)2+(3)2=(-)2+18(-12)2+92,当 a=0,=12时,|min=322.故答案为322.16.答案 2 解析 如图所示,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),D(0,0,2),(0,1,),(32,12,0),取的中点,则(34,34,0),连接 CM,则 CMAB.AE平面 ABC,CM平面 ABC,AECM,又 AEAB=A,CM平面 ABE,平面 ABE 的一个法向量为=(34,34,0),=(0,1,k),sin=|=321+2,又 6,4 ,12sin22,即12321+222,解得22 k2,k 的最大值为2.当 k=2时,=(
23、0,1,22),=(-32,12,2),设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z),则=+22 =0,=-32 +12 +2=0,令 y=-1,则 x=3,=2,=(3,1,2),取平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1),设平面 BDE 和平面 ABC的夹角为,则 cos=|=33,sin=63,tan=2.四、解答题 17.证明 如图,建立空间直角坐标系,设 AB=a,AD=b,AP=c,则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),M(2,0,0),2,2,2,(2,0).(2 分)(1)=(2,0),=(2,0),=,ARMC,(4 分)又 AR平面 PMC,M
24、C平面 PMC,直线 AR平面 PMC.(6 分)(2)=(0,2,2),=(a,0,0),(8 分)=0,MNAB.(10 分)18.解析(1)在平面 EDC 内作 EFCD 于点 F,因为平面 ABCD平面 EDC,平面 ABCD平面 EDC=DC,所以 EF平面 ABCD.(2 分)因为 E 为半圆弧 CD 上一点,所以 CEED,所以 VE-ABCD=13S 四边形 ABCDEF=13 5 25=253 CEED,(4 分)因为 CE2+ED2=CD2=5,所以 VE-ABCD253 2+22=253 52=553,当且仅当 CE=ED=102 时,等号成立,所以四棱锥 E-ABCD
25、的体积的最大值为553.(6 分)(2)由条件,得 4|cosCDE=|cosDCE,即 4DE2=CE2,所以 2DE=CE,又因为 DE2+CE2=5,所以 DE=1,CE=2.由条件,得因为 ADBC,BC平面 DCE,所以CBE 为直线 AD 与 BE 所成角,且 sinCBE=23=,=tanCBE=255.由条件,得sinsin=62,设=,则2+22+2=32.若选条件,则 DE=1,CE=2,且=tanCBE=255,所以=5.若选条件,则 DE=1,CE=2,且2+22+2=32,所以=5.若选条件,则=tanCBE=255,且2+22+2=32,DE2+CE2=5,所以 A
26、D=BC=5.即从任选两个作为条件,都可以得到 AD=BC=5,(9 分)下面求 AD 与平面 EAB 所成角的正弦值.以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 z 轴,过点 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(5,0,0),(0,0,5),(55,255,5),所以=(55,255,5),=(5,0,0),=(0,0,5),设平面 EAB 的法向量为 m=(x,y,z),则 =0,=0,即55 +255 +5=0,5=0,令 z=1,则 x=0,y=-52,所以=(0,-52,1),(10 分)所以 cos=55292
27、=22929,(11 分)因为 AD 与平面 EAB 所成角=2-,所以 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值为52929.(12 分)19.解析(1)由题意得 ABAD,PAAD,PAAB.以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则 A(0,0,0),C(3,1,0),(0,0,2),(3,0,0),(1 分)=(3,1,0),=(3,0,-2),=(0,0,2),(2 分)设异面直线 AC、PB 的公垂线的方向向量为 n=(x,y,z),则 n,n,=3+=0,=3-2=0,(4 分)令 x=1,则 y=-3,
28、=32,即 n=(1,-3,32).则异面直线 AC 与 PB 之间的距离 d=|=31+3+34=25719.(6 分)(2)设点 N(a,0,c),(7 分)易知 E(0,12,1),=(-,12,1-),(8 分)=2(1-)=0,=-3+12=0,(10 分)解得=36,=1,(36,0,1),(11 分)N 到 AB 的距离为 1,N 到 AP 的距离为36.(12 分)20.解析(1)证明:因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=23.连接 OB.(1 分)因为 AB=BC=22 AC,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB=12AC=
29、2.(2 分)由 OP2+OB2=PB2知 POOB.(3 分)由 OPOB,OPAC,OBAC=O 知 PO平面 ABC.(4 分)(2)如图,以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz.(5 分)由题意得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),=(0,2,23).易得平面 PAC 的一个法向量为=(2,0,0).设 M(a,2-a,0)(0a2),则=(a,4-a,0).(7 分)设平面 PAM 的法向量为 n=(x,y,z).由 n=0,n=0,得2+23=0,+(4-)=0,(8 分)可取 n=(3(
30、4),3a,-a),所以 cos=23(-4)23(-4)2+32+2.由已知可得|cos|=32,(9 分)所以23|-4|23(-4)2+32+2=32,解得 a=-4(舍去)或 a=43,所以 n=(-833,433,-43).(10 分)又=(0,2,23),所以 cos=34.(11 分)所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34.(12 分)21.解析(1)当=12时,CE平面 BDF.(1 分)证明如下:连接 AC 交 BD 于点 G,连接 GF.CE平面 BDF,CE平面 ACE,平面 ACE平面 BDF=FG,CEFG,=,(3 分)又 ABCD,ABGCDG,=12,
31、=12.(5 分)(2)取 AB 的中点 O,连接 EO,则 EOAB.平面 ABE平面 ABCD,平面 ABE平面 ABCD=AB,且 EOAB,EO平面 ABCD.连接 OD.BOCD,且 BO=CD=1,四边形 BODC 为平行四边形,BCDO,又BCAB,ABDO.(6 分)由 OA,OD,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),D(1,0,0),C(1,-1,0),E(0,0,3).(7 分)=(1,1,0),=(1,1,3),当=1 时,=,可得 F(0,12,32),=(0,32,32).(8 分)设平面
32、 BDF 的法向量为 n=(x,y,z),则有=0,=0,即 +=0,32 +32 =0,令 z=3,得 y=-1,x=1.即 n=(1,-1,3).(10 分)设 CE 与平面 BDF 所成角为,则 sin=|cos|=|-1-1+3|55=15.当=1 时,直线 CE 与平面 BDF 所成角的正弦值为15.(12 分)22.解析(1)证明:在等边三角形 SAD 中,P 为 AD 的中点,于是 SPAD,又平面 SAD平面 ABCD,平面 SAD平面 ABCD=AD,SP平面 SAD,所以 SP平面 ABCD,(1 分)所以 SP 是四棱锥 S-ABCD 的高,设 AD=m,则 SP=32
33、m,S 矩形 ABCD=m,所以 VS-ABCD=13S 矩形 ABCDSP=13m32 =233,所以 m=2,(2 分)如图,以点 P 为坐标原点,PA 所在直线为 x 轴,过点 P 且与 AB 平行的直线为 y 轴,PS 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),S(0,0,3),(12,0,32),(12,12,32),(3 分)=(12,0,32),=(12,12,32),(4 分)设 n1=(x1,y1,z1)是平面 PEF 的法向量,则1=0,1=0,即12 1+32 1=0,12 1+12 1+32 1=0,令 z1=1,
34、则 x1=-3,y1=0,n1=(-3,0,1).(5 分)同理可得平面 SCD 的一个法向量 n2=(-3,0,1).n1=n2,平面 PEF平面 SCD.(6 分)(2)存在.理由如下:设=(1,0,3)=(,0,3)(01),=+=(1,0,0)+(,0,3)=(1-,0,3),=(1,1,0),(8 分)设平面 PEB 的一个法向量为 m1=(x,y,z),则1=(1-)+3=0,1=+=0,令 x=3,则1=(3,3,-1),易知平面 SAD 的一个法向量 m2=(0,1,0),|cos|=|12|1|2|=|-3|72-2+1=3010,(10 分)因为 01,所以=13,(11 分)所以存在点 E,位于 AS 上靠近 A 点的三等分点.(12 分)
